例谈中学生数学思维层次的划分
2011-11-21
●
(《中学生数理化》(高中)编辑部 河南郑州 450004)
例谈中学生数学思维层次的划分
●师广智
(《中学生数理化》(高中)编辑部 河南郑州 450004)
大家知道知识和技能的层次规定得非常具体，而衡量学生思维能力的标准却很难形成具体一致的意见，这使得培养和发展学生的思维能力带有很大的随意性.新课标中规定的“了解”、“理解”、“掌握”指的是知识与技能水平目标，而不是思维层次目标.思维层次是以学生解决某一问题需要的中间环节的多少来确定的，学生每简化一次中间环节，其思维层次就会高一级.学生的思维层次是一个变量，不同的思维层次往往直接制约着解题的成败与繁简，显现着学生不同层次的思维水平.笔者认为，优化解题思路和注重一题多解是提升思维层次的一条捷径.
问题在等差数列{an}中，已知Sn=60，S2n=48，求S3n的值.
(1)
式(2)可化为
式(3)可化为
由式(4)-式(1)得
由式(5)-式(4)得
从而
S3n=-36.
这是求解此类问题的通法.学生对此思路非常熟悉，只要会用等差数列的求和公式,就能得出正确的结果.如果把等差数列的求和公式作为解决问题的起点，那么反复应用起点知识解决问题的思维深度就可以划定为思维的第一层次.这种思维层次表现在对起点知识的再现与复述，特点是中间环节较多.这是基本训练时一定要达到的一种思维层次.
思维的第二层次是能找出与起点直接发生关系的环节的思维层次.其特点是对数学知识内在联系的理解，能理顺概念间的上位、下位、同位关系，深刻理解概念的内涵与外延;能把握定理和公式的来龙去脉，揭示定理间的联系和公式间的联系等.譬如下面的解法2和解法3.
An2+Bn=60,4An2+2Bn=48.
令9An2+3Bn=m(4An2+2Bn)+n(An2+Bn)，则
(4m+n-9)An2+(2m+n-3)Bn=0，
易得
m=3，n=-3.
所以
S3n=9An2+3Bn=
3[(4An2+2Bn)-(An2+Bn)]=
3(48-60)=-36.
这种解法找到了等差数列求和公式的特点，简化了运算过程的中间环节，但解题过程还是太繁.
解法3设x=An2，
(6)
则
S3n=9x+3y.
(8)
由式(6)，(7)可得
x+y=60，4x+2y=48，
解得
x=-36，y=96,
代入式(8)得
S3n=-36.
显然,这种解法运用了函数思想,使解题过程更为简化，思维水平也有了进一步的提升.以上2种解法的依据仍是等差数列求和公式，只是顺向地进行了一些代换，思维可划定为第二层次.
思维的第三层次与起点知识或所求问题不直接发生关系，必须通过一次或几次中间环节才能使起点知识与所求问题发生关系.譬如下面的解法4与解法5就可划定为思维的第三层次.
解法4由等差数列的性质,可知Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，设其公差为d，则
d=48-60-60=-72，
因此
S3n-S2n=60+2d=-84，
即
S3n=S2n-84=-36.
当然,也可由Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，得
2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，
于是S3n=3(S2n-Sn)=3(48-60)=-36.
解法5由Sn=An2+Bn,得
从而
故
S3n=-36.
解法4充分利用了等差数列的性质，思路得到了进一步的优化.解法5把数列知识与解析几何、向量知识相结合，通过转化体现了学生的创造激情.以上2种解法培养了学生勇于质疑和善于联想的习惯，提高了学生发现、提出、解决数学问题的能力，具有一定的创新意识，故思维层次有了进一步的提升.
综上所述，不难看出解题方法的不同反映出学生思维的敏捷度和广度的不同，也就是学生的思维层次的不同.例如解法5采用了独特、巧妙、简单的思维方式和重要的数学思想方法，发现了一般学生不能发现的更深刻、更隐蔽的中间环节，其思维层次比一般学生高一些.因此要培养学生的思维能力，在教学过程中就要探讨思维能力的层次问题.一般地,可把学生的思维层次划定为三级,有利于教师根据学生的具体实际制定出量化的能力目标.通过对问题的多解较好地反映评价的可操作性，因此在平时的教学过程中应引导学生一题多解、一题多思，这是培养学生思维广度和深度的重要举措.
