关于t-范数的构造方法

樊东红 曾 彦

（钦州学院 物理和材料学院，广西 钦州 535000）

关于t-范数的构造方法

樊东红 曾 彦

（钦州学院 物理和材料学院，广西 钦州 535000）

文章对t-范数的发展历史和取得的成果进行了论述，并且给出了相关定义，论证了其基本性质，对其构造展开了全面的分析研究，得到了相应的结果。

t-范数，度量空间，模糊集

1 t-范数的研究历程

t-范数（即：三角范数）的历史起源于论文《统计度量》[Menger 1942]，而Karl Menger的本意是构造度量空间使得概率分配而不是数用在其中，以便刻画所提问题中的空间二元素间的距离[1]。

t-范数起重要作用的第一个领域就是概率度量空间的理论[2]。Berthold Schweizer 和Abe Sklar在1961年提出了我们今天仍在使用的t-范数理论，Seratnev 在1962年给出的统计度量的重新定义，许多关于t-范数的结果都是在这一发展过程中得出[3]。

关于函数等式领域，（连续的）t-范数理论与结合性等式（它的更一般形式仍未解决）密切相关[4]。最早的起源是Abel的研究，这一方向的研究有更多的结果[5]，尤其Ja’nos Acze’l的专著对t-范数的发展有并且仍将有深远的影响[6]，在这个背景下的主要结果是借助加法生成元完全刻画连续的Archimedeant-范数[6]。

研究的另一个方向是为解决一些（或多或少的）自然函数等式的t-范数参数族的证明，关于这一点，最重要的结果多半是Frank 的工作[8]，它表明Frank t-范数和t-对偶范数（加上序数和定理）是所谓的Frank函数等式的唯一解决办法。

总之，只需从三种t-范数，即MT ，PT ，LT 借助同构转化和序数和就可以构造出所有的连续t-范数[6]。

2 基本概念

定义2.1三角范数T（简称t-范数）是定义在单位区间[0,1]上的二元运算。即：对函数T： [0 ,1 ]2→ [0 ,1 ] , 使得对所有x,y,z∈ [ 0,1],有以下四个公理成立：

(T1) T(x ,y ) = T (y ,x ) (交换律)

(T2) T(x ,T (y ,z ) ) = T (T(x ,y ),z ) (结合律)

(T3) T(x ,y) ≤ T(x ,z),只要y≤z (单调性)

(T4) T(x , 1 ) = x (边界条件)

例2.1 以下是四种基本的t-范数 TM, TP, TL, TD.

TM(x ,y ) = m in(x ,y)

TP(x ,y ) =x⋅y

TL(x ,y ) = m ax(x + y −1,0)

只有 TL和 TD的结合律是不完全平凡的.因为 TL可以看作：

对于 TD只有在 ,y,z 中至少有2个等于1时我们在每一侧上都得到一个不等于0的值,在这种 情况下我们显然在每一侧上都有min(x ,y,z )，这四种基本t-范数很重要。定义 2.2 i)若对 t-范数,不等式对所有的 ( x ,y )∈ [ 0,1 ]2成立,我们就说 T1弱于 T2,或 T2强于 T1，写作T1≤T2。

ii)若T1≤T2且T1≠T2,则说T1< T2.即若 T1≤T2且对某个

从以上两点连同t-范数的性质，我们可以得到如下的包含四种基本的t-范数的比较，总体上说来, 要比较两个t-范数的强弱不是很容易。

注： (i)由(1.3)可知,对每个t-范数T 和每个 ( x ,y )∈ [ 0,1 ]2,有 T (x ,y) ≤ T ( 1, y )= y,T (x,y ) ≤ T (x, 1 ) = x所有的t-范数在

[0,1 ]2的边界上是重合的且对所有的 ( x ,y )∈ ( 0,1 )2,有 T (x ,y ) ≥ 0 = TD(x ,y )。因此， TD是最弱的 t-范数, TM是最强的

t-范数:

(ii)因为显然 TL< TP,所以我们可以得到四种基本t-范数的序:

很显然对 t-范数T最重要的事就是在开单位平方 (0 ,1 )2上满足交换律(T 1 ),结合律(T 2 ), 单调性(T 3 )，然而这不足以保证在整个单位平方 [0 ,1 ]2上的单调性。S:[ 0,1 ]2→ [0 ,1], 使得对所有 x ,y,z∈ [ 0,1 ] ,满足(T1)-(T3)和边界条件

例2.2 以下是四种基本的t-对偶范数 SM, SP, SL,SD。

事实上t-对偶范数的原始定义与以下给出的定义完全等价:

函数S:[ 0,1 ]2→ [0 ,1]是t-对偶范数当且仅当存在t-范数T使得对所有 ( x ,y)∈[0,1]2

3 重要性质

性质3.1 i)从定义2.1我们可以直接推出,对于所有的 x ∈ [ 0,1 ] ,t-范数T满足以下另外的两个边界条件:

因此，所有的t-范数在单位平方 [0 ,1 ]2的边界上都是重合的。

ii) t-范数T在第二个分量上的单调性由(T3)可描述,加之(T1),等价于在两个分支里的(联合)单调性，即：

确实,若 x1≤x2,y1≤y2,则我们有

性质3.2 设A是满足(0 , 1)⊆ A⊆[0,1]的集合,假设*:A2→A 是定义在A上的二元运算，且对所有的x,y,z∈A,满足性质(T1)−(T3)和

则函数T:[ 0,1 ]2→ [0 ,1 ] 是t-范数,其中T定义为:

而且T是唯一的限制到 ( A {1})2与*限制到 ( A {1})2重合的t-范数。

性质3.3 i)对所有的 x ∈ [ 0,1]满足 T (x ,x ) = x的唯一的t-范数是 TM。

ii)对所有的x∈[0,1]满足T(x,x )= 0 的唯一的t-范数是 TD。

4 T-范数的构造

定理4.1：对于 x, y∈[0,1]，h∈[-1,1]是x，y的相关系数，则

是T范数。

证明：易得T（ha,b）∈[0,1]。以下验证(1)式满足T-范数的四个条件。由于TP,TM,TL是T-范数,因此边界条件，交换律和单调性显然满足，只需要证明结合律，即证明：

考虑相关参数均属于[0,1]d的情况，则有

上变化，只要能证明P，Q的交集非空,就可以选择合适的参数 h3,h4使得(11)成立。

令

同理可证明 Pmax≥ Qmin，因此P，Q的交集必定非空，因此总能找到适当的参数使交换律满足，同理可证得相关参数为其他情况是时也满足定理，故定理得证。

这里 h是a，b的相关系数，当h=1时,表示a，b间具有最大相关性： Th= TM，当h=0，表明a，b间具有独立相关性，Th= TP；当h=-1，表明a，b间具具有最小相关性， Th= TL当 h在[0,1]间连续变化时， Th将在 TP和 TM间作连续变化，当h在[-1,0]间连续变化时， Th将在 TP和 TL间连续变化。

上述定理即给出了一种T-范数的构造方法。

[1]E. P. klement, R.Mesiar, E. Pap.Triangular-Norms[M].Dordrecht :Kluwer-AcademicPublisher,2000.

[2]E.P.klement,R.Mesiar,E.Pap.Problems on triangular norms and related Operators[J].Fuzzy Sets and Systems,2004,145(3):471-479.

[3]B. Schweizer, A.Sklar. Probabilistic Metric Spaces[M].North-Holland,NewYork,1983.

[4]Funda Karacal.An answers to an open problem on triangular norms[J].Fuzzy Sets and Systems,2005,155(3):459-463.

[5]M. Hosszu.Some functional equations related with the associativity law[M].Publ. Math Debrecen,1954.

[6]C.M.Ling.Representation of associative functions[M].Debrecen:Pub.Math.1965.

[7]J Aczél. Lectures on functional equations and their applications[M].New York:Academic Press,1966.

[8]J. Frank.On the simultaneous associatively of F(x, y) and x+y-F(x, y)[J].A Equations Mathematical,1979,19(2-3):194-226.

CONSTRUCTION AND PROPERTIES OF T-NORM

FAN Dong-hong, ZENG Yan
( Qinzhou University, Qinzhou 535000,China)

In this paper, the history and the results of t-norm are discussed. It gives the related definitions and discusses the basic properties of t-norm. It has a comprehensive analysis of the construction of t-norm. The corresponding results have been

.

t-norm; Metric space; Fuzzy sets

O159

A

1673-2219（2011）08-0032-04

2011－05－03

广西自然科学基金资助项目（2011GXNSFA018151），广西教育厅科研资助项目（201012MS194）。作者简介：樊东红（1964－），女，广西忻城人，钦州学院副教授，主要研究方向为模糊系统及应用。

(责任编校：刘志壮)