逻辑学在《数学分析》教学中的应用
2011-11-20何先平宋述刚
何先平,宋述刚
(长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)
逻辑学在《数学分析》教学中的应用
何先平,宋述刚
(长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)
在《数学分析》教学中,运用逻辑学的原理与方法,阐明《数学分析》的分析与综合方法,揭示极限等重要概念中的性质判断的定义结构,有助于突出教学重点,分解教学难点,使学生深入理解和掌握《数学分析》的基本概念与思想方法,从而提高《数学分析》的教学质量。
数学分析;逻辑学原理;分析;综合
在科学发展的初期,数学被包含在哲学的母体之中。逻辑学是研究思维的逻辑形式、基本规律与方法的学科,它与数学有着十分密切的关系。在它的发展过程中,不断借用数学的思想方法,反过来又促进数学的发展。《数学分析》是大学相关专业十分重要的基础课程,蕴含着丰富的逻辑思维原理与方法。《数学分析》充分运用了分析与综合的逻辑思维方法,其基本概念——极限的定义,被称之为典型的分析语言,即是分析与综合的体现,其中包含了一些全称判断与特称判断,由此构成一个复合判断。极限的概念与方法,贯穿于《数学分析》的始终,既是教学的重点,也是教学的难点,其教学历来受到特别的重视。因此,在《数学分析》教学中,运用逻辑学的原理与方法,对提高教学质量有着非常重要的意义。
1 分析与综合
分析法与综合法则是常用的普通逻辑思维方法。分析法就是把复杂的事物或过程分解成各个部分、局部或阶段,然后用孤立、静止的观点逐个对其研究,从而得出事物的微观性质;而综合法则是把事物的各个部分或阶段的微观性质有机整合在一起,把握事物的整体、宏观性质。通常人们往往将这两者先后结合起来,达到认识事物的目的。概念、判断、推理是思维的基本形式,因而数学概念就是教学中首先要注重的对象。《数学分析》的基本概念,例如极限、微分、积分的定义都采用了分析与综合的方法。下面以极限与定积分的概念为例说明。
|an-a|<0.1 |an-a|<0.01 |an-a|<0.002 …
对于上述每个变化阶段,用孤立、静止的观点研究它们,所得条件是自变量n必须大于某个正整数。这样的变化阶段有很多很多,它们具有上述类似的特征,运用逻辑量词符号,将其综合、概括起来即为:
∀ε>0,∃正整数N,当n>N时,都有|an-a|<ε
的近似值的极限值即为它的精确值。上述过程中的分割、近似即为分析,而作和、取极限则为综合,定积分的概念是分析与综合相结合的完美范例。
2 判断与否定判断
判断是对思维对象有所断定(即肯定或否定)的思维形式。数学中的判断大量存在于数学的概念与推理之中。在《数学分析》中,很多判断属于性质判断,即断定对象具有或者不具有某种性质的判断。如:①函数f(x)在区间(a,b)可导;②函数f(x)在区间[a,b]不可积。
性质判断按对象的数量划分,可分为单称判断、全称判断和特称判断;按性质划分,又可分为肯定判断与否定判断。否定一个全称判断,须用特称判断,而否定一个特称判断,则须用全称判断。
《数学分析》大多数基本概念的定义由全称判断和特称判断构成,如极限、上(下)确界、有(无)界函数、微分、积分等。这些概念都是教学的重点与难点。特别是教学之初就涉及到的极限概念,学生对其正概念,尤其是对其负概念中的“ε-N语言”、“ε-δ语言”的理解和掌握容易产生障碍,究其原因,笔者认为是教学中缺乏逻辑学的指导。
∀ε>0,∃正整数N,当n>N时,都有|an-a|<ε
这是一个复合判断。其中∀ε>0…引导一个全称肯定判断,而这个判断之中,又包含一个特称肯定判断:∃正整数N…,一个全称判断∀n>N…。
∃ε0>0,∀正整数N,∃n0>N,使得|an0-a|≥ε0
同理,数列{an}发散的定义为:
∀a∈R,∃ε0>0,∀正整数N, ∃n0>N,使得|an0-a|≥ε0
类似地,可以讨论各种类型的函数极限的定义及其否定形式。
此外,在逻辑推理(例如反证法)中,也经常涉及到全称判断和特称判断及其否定。
3 结 语
除了上面提到的逻辑学原理与方法以外,《数学分析》还大量运用了演绎推理、归纳推理、类比推理等逻辑推理论证方法与普通逻辑的基本规律,如同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。学习与掌握一定的逻辑学知识,不仅可以促进数学的学习,而且可以指导数学的教学。
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[编辑] 洪云飞
10.3969/j.issn.1673-1409.2011.02.047
N4
A
1673-1409(2011)02-0135-02
2010-12-24
何先平(1965-),男,1985年大学毕业,硕士,副教授,现主要从事数理统计方面的教学与研究工作;E-mail:hexp@yangtzeu.edu.cn。