在“做数学”中发现数学之美*

纪宏伟

(江苏教育学院 如皋分院，江苏 如皋 226500)

在“做数学”中发现数学之美*

纪宏伟

(江苏教育学院 如皋分院，江苏 如皋 226500)

学生普遍感到数学“抽象”、“枯燥”、“神秘”、“繁复”、“乏味”，难以接受，然而数学作为自然科学的基础，其本身具有许多美的特征和丰富多彩的美的因素。学生在“做数学”中发现数学之美，将可以促进其有意义学习，使他们在美的熏陶下，得到情感的共鸣和思维的启迪，从而把学习和研究数学作为主动、自觉和愉快的事，发展数学能力，提高学习兴趣，完善学习方式。

做数学;数学美;计算机技术

在不少学生眼里，数学是冰冷的数字和抽象奇特的符合的组合，是一门“枯燥、繁难、烦琐”的学科。学生学习兴趣低落，学习的愿望或意向消沉，教学质量难以提高。利用数学美恰能起到弥补学生在此方面的缺陷。斯托利亚尔说:“数学教学是数学活动的教学。”弗赖登塔尔认为:“学一个活动的最好方法是做。”学生通过“做数学”，从中感受到数学知识鲜活、美的一面，将能激发起强烈的求知欲望和自我唤醒的力量，培养起对数学学习的热情和追求。同时，学生亲自去实践，主动去探求和发现，将能深刻感受和体验数学知识的建构过程，享受到数学美给他们带来的乐趣，在促进数学认知过程中获得丰富的情感体验。这种方式真正体现了“数学是过程，是活动，学数学就是做数学”的理念，突出了学生的主体地位，其教学意义不言自明。

一、数学美及其含义解读

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。数学美是反映自然界在数量关系与空间形式上合目的性与合规律性的和谐统一，是科学的本质力量的感性与理性显现。从表面上看，数学就是符号、数字、图形、概念、公式、逻辑关系等，它精炼、准确，富于形象化、形式化，却又显得抽象、单调、枯燥、神秘、繁复，数学美主要就是通过这些“冷而严肃”的事物来反映理论内在的绚丽多姿而又深邃含蓄的层面，以其“严谨、雅致、含蓄”来表现着数学中内蕴的美的独特品质。艺术美和自然美常给予人形象思维上的直接感受，或感官上的直接冲击，数学美与之不同，它美在理性的外部形式，更美在数学的方法、思想和结论的内部，包含着深层的逻辑思考与复杂的推理运算过程，融合了人的思维创造。英国著名的数学家、哲学家罗素说过:“数学，如果正确地看待它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。”美国数学家克莱因也曾对数学美做过这样的描述:“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，数学却能提供以上一切。”华罗庚也曾说:“认为数学枯燥无味，没有艺术性，这种看法是不正确的，就像人站在花园外面，说花园里枯燥无味一样。”数学美是客观存在的，“不仅有表现的形式美，而且有内容美与严谨美;不仅有具体的公式、定理美，而且有结构美与整体美;不仅有语言精巧美，而且有方法美与思路美;不仅有逻辑抽象美，而且有创造美与应用美。”简而言之，数学美即是蕴藏于它所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法……之中的统一、简捷、和谐、对称、严谨、奇异等形式，［1］数学之美，无处不在。

二、数学美的基本内容

数学美的概念伴随着数学的发展相继有一定发展和演变，但是，它的基本内容是相对稳定的，主要体现在:

1.简洁性。爱因斯坦说过:“美，本质上终究是简单性。”彭加莱说，简单性就是一种美。数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式和数学理论体系的结构简洁。数学中许多定义、定理、符号语言都简洁明了，数学中的许多定理、公式、论证都充满着简洁的特征，数学中好多复杂的问题都归结为简单的公式、定理和关系式。对于亿分之一，人们乐于写成 10－8而不写成三角函数众多繁杂的诱导公式，可借助十个字的口诀“奇变偶不变，符号看象限”高度概括，f(x)dx这一简洁的符号表达了极为丰富的内涵，给数学理论的表述和论证带来了极大的方便。数学中的“最简形式”(如最简多项式、最简分式、最简根式等)，几何作图中“尺规作图”问题，解析几何中的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，等等，无不是简单性的体现。

2.和谐性。德国物理学家海森堡指出“美是一个部分与另一个部分及整体的固有的和谐。”数学美的和谐性是指数学内容与结构系统的协调完备和数学所表现出的均衡对称，其实质是数学中对立统一的概念、运算、命题、图形等在结构与形式方面的体现。［2］和谐是数学美的基本内容，它给人们一种圆满而匀称的美感与享受。常见的表现形式是统一美和对称性。统一美通常表现为概念、规律、方法的统一。数学中一些表面看来不相同的概念、定理、法则，在—定的条件下可以处在一个统一体中。例如，在集合论建立以后，代数中的“运算”、几何中的“变换”、分析中的“函数”这三个不同领域中的概念可以统一于“映射”概念中。［3］在积分运算中，线积分、面积分都可分别由格林公式和奥－高公式转化为重积分，而重积分又可由累次积分转化为定积分，定积分又可通过牛顿－莱布尼茨公式转化为不定积分，从而使各种积分运算都统一到求不定积分的运算，知识体系达到完美和谐的统一。对称通常指图形或物体对于某个点、直线或平面而言，他们在大小、形状和排列上具有一一对应关系。在数学中，对称的概念略有拓广，常把某些具有关连或对立的概念视为对称。［1］数学的对称美主要体现为几何对称与代数对称。如参数方程和极坐标表示的双纽线、心脏线、玫瑰线等，函数中的无穷小量与无穷大量，曲线的凹与凸，矩阵中的对称矩阵，复合函数的求偏导公式等，都给人以审美的愉悦感。

3.奇异美。弗兰西斯·培根认为“美在于独特而令人惊异，没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异。”数学的奇异美是指数学中的和谐或统一在一定条件下的破坏，是数学的新思想、新方法对原有习惯法则和统一格局的突破。［4］哈密顿四元数的发现，表现出异于寻常的奇异美，推动了线性代数的研究，打开了现代抽象代数的大门。函数f(z)=x+yi在复平面内处处连续却处处不可导，皮亚诺曲线、直纹曲面等都体现了奇异之美。数学中新颖的结论、出人意料的反例和巧妙的解题方法都表现出了一种独特的令人惊讶的奇异，也让人体会到一种奇特新颖之美感。［5］奇异性结果的获得则又往往意味着冲破了原先认识的局限性，成为新思想和新方法的起点。

三、在“做数学”中发现数学之美

案例1棱柱、棱锥、棱台的辩证统一

事物都是普遍联系的，都是对立统一的。数学中许多定理、公式、概念之间互相转化，互相推导，使知识体系达到完美和谐的统一。如图1，点A控制棱台的高，点B控制棱台的倾斜程度，点C是主控点，利用点C的位置控制其他元素的位置变化，拖动点可以手动表现为棱柱、棱锥、棱台，三者之间互相转化，其体积计算公式是对三种几何体体积公式的高度概括，具有简洁和统一的美学特征。学生在做数学中将加深对几何图形的感知，必然对统一美、和谐美会别有一番感受，从而深刻理解它们之间的辩证关系，掌握概念的实质和知识的内在联系，深化对公式的理解和记忆。

图1 柱锥台互相转化

案例2圆锥曲线的统一形式

“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。”数学的奇异美使这个规律化、程式化的世界常常出现意外的、新颖的、带有独创性的成果，既“出人意料”又在“情理之中”，令人兴奋、激动而又兴趣盎然。［6］如图2，通过 e(e＞0)值由小到大的不同赋值而引起的相应图形由椭圆→抛物线→双曲线的变化过程的动态演示，揭示了三者之间的内在联系与区别。当0＜e＜1时，形成的是椭圆;当e＞1时，形成是双曲线;当e=1时，形成的是抛物线。常数e由0.999或由1.001变为1，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线，让人惊愕和诧异。通过拖动的值，学生将清楚地目睹同步达到的屏幕图形的变化以及由渐变到质变的过程，领略逼真动人、奇妙生动的情境，感受到这令人激动不已的奇异产生的美感。

图2 圆锥曲线的统一形式

而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。［7］如图 3，拖动点 A、B、C，将全方位展示出三种曲线直观的变化、转化过程和特征，深邃含蓄的的奇异之美跃然纸上，让学生新奇与兴奋不已。通过做数学，整个知识的形成过程清晰地展现在眼前，学生感悟到数学的魅力，获得审美体验，对圆锥曲线内容必然产生兴趣并表现出心驰神往。数学不再是冷冰冰的世界，数学学习不再枯燥、乏味。

图3 平面截圆锥成圆锥曲线

案例3定积分概念的几何意义

定积分的概念涉及到“以直代曲，以有限来逼近无限”的近代微积分思想。在以求曲边梯形的面积为例引入定积分定义时，传统教学中一般是靠语言进行抽象的描述，缺乏必要的直观形象支撑，所有的结论都是教师“讲”出来的，学习效果可想而知。而现在让学生通过“做”数学，如图4，单击选中t，然后按键盘上的“+”“－”键，使t值增大和减小。当t增大时，长条矩形的个数越来越多，永无止境而又欲达不能，给人一种美的享受，当小矩形逐渐填满曲边梯形，小矩形面积之和就逐渐接近曲边梯形的面积，这是一个无限接近的过程，学生在动手操作过程中，深刻体验图形“变动”的动感，领略到美的神韵，在推理想像中完成这个过程，并对它所推出的结论的正确性确信无疑。学生从“做数学”中感受到数学并非那么枯燥无味，深不可测，而是如此的神奇奥妙，瑰丽迷人。这将激发学生学习数学的无穷动力，有利于学习兴趣和探究精神的培养，正如徐利治教授所说:“学生的学习应该是主动的、富有美感的智力活动，学习材料的兴趣和美学价值乃是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的美的愉悦和享受是推动学习的最好动力。”

图4 定积分概念的几何意义

四、小结

数学是一个瑰丽多姿、生机勃勃的世界。正如古希腊数学家普洛克拉斯所说:“哪里有数，哪里就有美。”数学教学如果没有美的发现和体验，无疑是一种缺憾。数学教学为展现数学美提供了广阔的空间，而计算机技术也进一步让学生体会到“做数学”的奇妙，计算机图形技术更是以直观方式使数学知识以直观的“形状”展现出来，产生无穷诱发力和吸引力。在“做数学”中发现数学美，让学生融数学知识学习于一种积极的情感体验之中，将大大激发学生的求知欲和内部情感动力，形成主动学习、乐于学习的动力，促进学生对学习内容的深入理解，学会数学，学好数学。

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［3］张清利，张国艳.由斐波那契数列谈数学美［J］.北京广播电视大学学报，2004，(4):46～49.

［4］胡桐春.数学美在高等数学解题中的运用［J］.杭州师范学院学报(自然科学版)，2006，5(6):503～507.

［5］王淑芹.把握数学美的特征 发挥数学美育功能［J］.教育实践与研究，2006，(4):47～48.

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［7］杜艳霞，杨凤娥.引导学生欣赏数学美［J］.安阳工学院学报，2010，9(4):127～128.

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