分段函数在分段点的求导

陈佩树

（巢湖学院，安徽 巢湖 238000）

分段函数在分段点的求导

陈佩树

（巢湖学院，安徽 巢湖 238000）

分段函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点.本文研究分段函数在分段点的可导性、导数的求法,并给出相应的例子。

分段函数；导数；连续

分段函数是一类常见的函数，虽然有的分段函数在每一段上的表达式都不复杂，但是分段函数在分段点的极限是否存在、是否连续以及是否可导等问题都比一般初等函数复杂的多,常常让初学者感到一片茫然，搞不清其中的关系.由于分段函数在分段点的左右极限之间关系复杂，在分段点可能连续也可能不连续，有可能可导也有可能不可导，下面从三个定理出发，对分段函数在分段点的可导进行研究并给出相应的例子.

定理 1[1]若 f（x）在 x0处可导，则 f（x）在 x0处连续.反之，若 f（x）在 x0处不连续，则 f（x）在 x0处不可导.但即使f（x）在x0处连续，在 处也未必可导.

（1） 满足什么条件时，f（x）在 x=0 连续；

（2） 满足什么条件时，f（x）在 x=0 可导；

（3） 满足什么条件时，f′（x）在 x=0 连续.

注：从上面例可以看出，当m≥1时，f（x）在x=0连续，但当m≥1时，f（x）在x=0未必可导，只有当m≥2时，f（x）在x=0才可导.即说明了f（x）在x=0处连续并不能确保f（x）在x=0处可导，另一方面也验证了f（x）在x=0处可导，则f（x）在x=0处一定连续.极限、连续、导数的概念是关系到学生能否学好微积分的极其重要、最基本的概念.

解：当 x≠0 时，f′（x）=3x2，由于则有函数 f（x）在 x=0 处左右极限不相等，显然有f（x）在x=0处不连续.从而f（x）在x=0处不可导.综上所述，当x≠0时，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 处不可导.

定理 2[1]存在当且仅当 f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）

注：定理2说明了若分段函数在分段点的左右导数虽然存在但不相等或至少有某一侧导数不存在，那么分段函数在这一分断点的导数就不存在.

杨凯让司机开车带着钱按照绑匪指定的地点驶去，在连续转换了三个交钱地点之后，绑匪把司机指引到六环边的一条小河边，让司机将装钱的旅行包放在小桥中间后离开。此时已是傍晚7点，杨梅见绑匪已经拿到钱，最担心绑匪杀人灭口，她不敢触动绑匪的神经，只是轻轻咳了一声。操着北京口音的绑匪回头一看，扭头对东北口音的绑匪说：“哥，这女孩说得有道理，咱不能把事闹大了，不然不好收场，钱拿到了，送这女孩回去吧。”东北口音的绑匪想了想说：“那好吧。”随后，两个绑匪在南三环的一家汽配城门口停下车，把手机还给杨梅，开车离开。

注：此题是首先判断函数在分段点连续，再通过求分段点两侧导数的极限存在且相等，进一步地有此函数在分段点两侧的导数存在且相等.故有函数在此分段点可导，且求出其导数.但是，分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.

进一步考察f（x）在x=2点的导数：

所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 处不可导.

注：虽然f（x）在x=2处连续，但是f（x）在x=2处不可导.如果直接地对例5中函数f（x）中的分段函数进行求导，得到进而想当然地认为f′（2）=2，那就出错了.只有当 f+′（2）=f-′（2）=2 的情况下，才有f′（2）=2.而实际上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右导数来确定分段函数在分段点处的导数是行之有效的方法，在实际解题中必须小心谨慎.

证明：∀x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在 x=x0处连续，g（x）在（x0-δ，x0）内可导.所以 g（x）在[x，x0]上连续且在（x，x0）内可导.由微分中值定理知∃ξ∈（x，x0），使得由于当时，必有

即 f-′（x0）存在且有

通过该定理我们可以直接求解一些分段函数在分段点的的导数问题.

（1）如果分段函数在分段点单侧连续，且在这一侧的导函数的极限存在，则可以直接利用该定理.

（2）如果分段函数在分段点连续，且在两侧导数的极限均存在，那么左、右导数都可用该定理的求得.

（3）如果函数在分段点的两侧由同一表达式表示，且在分段点连续，如果存在，则有 f′

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社.2003.

[2]吉米多维奇,费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(2)[M].济南：山东科学技术出版社,1999：58.

[3]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.

[4]袁文俊,邓小成.极限的求导剥离法则[J].广州大学学报：自然科学版,2006，(3).

[5]程黄金,陈伟.分段函数求导问题的多种解法[J].中国科技信息,2006，(16).

[6]王大荣,艾素梅.分段函数在分段点处的求导方法刍议[J].沧州师范专科学校校报,2005,21(3).

[7]刘其林,唐亮.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题[J].株洲师范高等专科学校学报,2007,(4).

RESEARCH DERIVATIVE OF PIECEWISE FUNCTION AT THE DEMARCATION

CHEN Pei-shu
(Chaohu University,Chaohu Anhui 238000)

Derivative of piecewise function at the demarcation is an important and difficult problem in higher mathematics.The purpose of this paper is to study the differentiability of piecewise function at the point of demarcation,and we give the corresponding examples.

piecewise function;differential coefficient;continuous function

O172.1 < class="emphasis_bold">文献标识符：

符：A

1672－2868（2011）03－0124－04

2011-3-6

安徽省2010年高校省级优秀青年人才基金项目（项目编号：2010SQRL129）;巢湖学院科研启动基金项目，巢湖学院院级重点课程（高等数学）

陈佩树（1979-），男，安徽来安人。讲师，博士,研究方向：随机网络

责任编辑：陈 凤