一类特殊矩阵特征值的绝对扰动上界＊

孔祥强

(菏泽学院数学系,山东 菏泽 274000)

一类特殊矩阵特征值的绝对扰动上界＊

孔祥强

(菏泽学院数学系,山东 菏泽 274000)

利用矩阵的奇异值分解和矩阵的计算技巧研究了 Hermite矩阵特征值的扰动界,得到了Hermite矩阵特征值的绝对扰动上界,对以往的结果进行了改进,并推广了W ielandt-Hoffman定理。

Hermite矩阵;特征值;绝对扰动上界

设A∈Cn×n,B=A+E为其扰动矩阵,A,B的特征值分别为λ(A)={λk},λ(B)={μk}关于特征值的传统误差界是估计 |μi-λi|,用 Frobenius范数界定矩阵特征值与对应的按一定顺序排列的其扰动矩阵特征值的所有距离的平方和的平方根,即其中m in表示对{1,2,……,n}所有的排列π取最小值,称为矩阵的W ielandt-Hoffm an型绝对扰动上界。本文利用矩阵的奇异值分解,得到了Her m ite矩阵特征值的W ielandt-Hoffm an型绝对扰动上界,改进了以往的结果,并推广了W ielandt-Hoffm an定理。

1.定义和引理

定义 1[1]设 A∈,存在酉阵 U、V,使得

定义 2[1](Frobenius范数)设则称它为矩阵A的 F-范数,也可写成

引理[2]设 A,B ∈Cn×n均为 Her m ite矩阵,X为 Her m ite矩阵且 X为正定阵,即:xHAx>0 ∀x∈Cn,x≠0则:

2.主要结果

定理 设 A,B ∈Cn×n,A为 Her m ite阵,即存在酉阵 P,使 A=PΛPH,Λ =diag(λ1,λ2,……λn);B为可对称化矩阵,即存在非奇异阵 Q,使 B =QΩQ-1,Ω =diag(μ1,μ2,……μn),μi∈R;非奇异阵 X∈Cn×n,则存在 1,2,……,n的某个排列π,使得

[1]孙继广 .矩阵扰动分析 [M].北京:科学出版社,2001:1—226.

[2]吕烔兴 .几个矩阵范数不等式及其在谱扰动中的应用 [J].高等学校计算数学学报,2001,(2):162—170.

[3]Stewart GW.A note on non-Hermitian perturlations of Hermitian matrices,CAN-14,AD.745006,1972.

[4]Hoffman A J.andW ielandtHW.The variation of the spectrum of a normalmatrix,Duke Math.J.1953,20,37—39.

Absolute Perturbation Bounds for Eigenvalues of Herm iteMatrices

KONG Xiang-Qiang
(Department of M athematics of Heze University,Heze274000,China)

Using the singular value decomposition,some newW ielandt-Hoffman type absolute perturbation bounds of Hermite matrix are obtained.We get the results,which improve and extend the corresponding results in other papers.

Hermite matrix;eigenvalue;absolute upper bound of perturbation

O241.6

A

1671-7406(2011)03-0020-03

菏泽学院 2008年教改课题项目 (200825)。

2010-11-23

孔祥强 (1983—),男,山东菏泽人,助教,硕士,研究方向:计算数学。

(责任编辑 刘洪基)