函数图像法在中学物理中的应用

王秀波

（和田师范专科学校物理系 新疆和田 848000）

函数图像法在中学物理中的应用

王秀波

（和田师范专科学校物理系 新疆和田 848000）

函数图像法是一种能直观、形象地描绘物理规律、解决物理问题的方法。本文通过多方面举例，阐明了物理函数图像法在研究物理规律、处理物理问题方面的优势以及在培养学生分析问题、理解问题和解决问题中的重要作用。

函数图像；中学物理；应用

引言

在物理学中，由于函数图像能直观地反应物理现象或规律，所以在近几年的中高考命题中，通过分析函数图像解决物理实际问题的考题呈逐年上升的趋势，并且知识覆盖面也越来越广，这就要求我们要能掌握并熟练地运用物理函数图像法来分析和解决问题。

要能熟练的使用物理函数图像来解决问题，首先必须理解物理函数图像所表达的意义，就是能用图像中坐标轴所代表的物理量，推断出图像所表述的物理意义和物理情景，并能将图像和方程联系起来，进一步获取信息。在理解和掌握了函数图像中各要素的意义下，就要学会看图像、用图像、画图像。在这一过程中也能培养和锻炼学生的分析问题、理解问题和解决问题的能力。

1.函数图像的概念以及优点

物理规律可以用文字来描述，也可以用数学函数式来表示，还可以用图像来描述。利用图像描述物理规律、解决物理问题的方法称之为图像法。物理图像有很多类型，如模型图、受力分析图、过程分析图、函数图像等。其中函数图像的出现是因为人们为研究函数，从而渴望得到一种快捷方便的方式。所以函数图像的最大作用就是让人看到函数的变化，能更深入地研究。物理函数图像就是一种形象直观“语言”，它不仅能使抽象的物理概念变得形象直观，使动态过程变得清晰，而且能恰当地表示用语言难以表达的内涵。用函数图像分析物理问题不但迅速、直观，还可以避免复杂的运算过程，是处理物理问题的重要手段之一。加强对物理函数图像的学习与使用，可以培养学生的抽象思维能力和运用数学知识解决物理问题的能力，具有形象、直观、动态变化、过程清晰等特点，能使物理问题简化明了，更重要的是它能将物理学科与数学、信息技术等其他学科有机地结合起来，增强学生的综合素质能力。

2.函数图像法运用于中学物理教学的意义

2.1 直观形象、简化解题过程

图像解法不仅思路清晰，而且直观、形象，可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的效果。例如在比较匀变速直线运动中的平均速度与中间位置的速度的大小关系时，用图像法解题一目了然。如图1，平均速度即中间时刻速度V2，中间t1位置的瞬时速度即面积平分时刻的速度V1。依据图像能很快地得出结论V2＜V1。

图1 chart 1

2.2 帮助学生理解抽象的物理概念

例如密度是物质的特性，理解这个概念往往感比较抽象，为了突破这一教学上的难点，可做出物质质量和体积的关系图像，如图2所示，简称m-v关系图像。例如实验所测得的不同体积的铝块的质量为m1、m2、m3、m4分别画在直角坐标上，横坐标代表体积，纵坐标代表质量，画出图像为直线，即铝的m-v关系图像，它的数学意义是m与v的正比关系，且m与v的比值是一个恒量。

图2 chart 2

2.3 演示变化过程，掌握变化规律

用图像法来描述物理过程则更直观，可以描述出其变化的动态特征，帮助学生理解物理过程。比如在研究机械波时，我们可以根据波形图的变化来判断波的传播方向。如下图中实线是简谐波在t=0时刻的波形图，虚线是t=0.3s时刻的波形图，波速是20cm/s。从图中可以看出其波长为8cm，则可算出周期为T=0.4s，则，由此我们可以判断此列波是沿 轴向左传播的。

图3 chart 3

2.4 用于实验，简化数据处理方法

物理学习离不开物理实验，在物理实验中应用图像法进行数据处理，不仅具有简明、直观的特点，而且还可以减小误差、分析误差的成因。如测量电源电动势与内阻的实验，根据实验数据画出路端电压与电流的图像。根据欧姆定律U=E−Ir，可知U是I的一次函数，这个图线应是一条直线。由于实验误差，根据实测数据做出的点不会严格地落在同一条直线上。我们用直尺画一条直线，是直线两侧的点子数目大致相等。

图4 chart 4

如图 4所示这条直线就能代表没有误差或误差很小时的电压-电流关系，这条直线跟纵轴的交点表示 I=0，属于断路的情况，这时的电压U等于电源电动势，这条直

线与横轴的交点表示电压U=0，属于短路的情况，根据短路电流I短与内阻r、电动势E的关系，可求出电源的内阻r。

2.5 是一种科学探究的基本方法

函数图像法在研究性学习中也有较大的应用。通过图像可以确定物理量之间的关系。如在研究“一定质量的气体在温度不变的情况下，压强与体积的关系”实验中，将数据采集器收集到的数据输送到图形计算器，输出P—V图线，得到的是一条曲线，输出P—1/V图线，得到一条直线，通过对图线的拟合，发现曲线与反比例函数、直线与一次函数图线都能很好地吻合，由此可得一定质量的气体在温度不变的情况下，压强与体积成反比。

总之运用函数图像法解题的深层意义在于可以启迪学生的创新意识，培养创造能力，提高学生的综合能力，培养学生严谨求实的治学态度。

3.函数图像的各个层次的物理意义

图像的物理意义主要通过“点”、“线”、“面”、“形”四个方面来体现：

3.1 物理图像中“点”的物理意义

“点”是认识图像的基础。物理图像上的“点”代表某一物理状态，它包含着该物理状态的特征和特性。从“点”着手分析应注意从几个特殊“点”入手分析其物理意义 。

（1）截距点，它反映了当一个物理量为零时，另一个物理的值是多少，也就是说明确表明了研究对像的一个状态。如图 5中，图像与纵轴的交点反映出当 I=0时，U＝E即电源的电动势；而图像与横轴的交点反映出电源的短路电流。

图5 chart 5

（2）交点，即图线与图线相交的点，它反映了两个不同的研究对象此时有相同的物理量。如图6中的P点表示甲、乙物体运动位移相同的时刻和位移。

图6 chart 6

（3）拐点，通常反映出物理过程在该点发生突变，物理量由量变到质变的转折点。拐点分明拐点和暗拐点，对明拐点，学生能一眼看出其物理量发生了突变。如图7中的P点反映了加速度方向发生了变化而不是速度方向发生变化。

图7 chart 7

而暗拐点，学生常察觉不到物理量的突变，如图8中P点看起来是一条直线，实际上在该点速度方向发生了变化。

图8 chart 8

图9 chart 9

（4）极值点，它可表明该点附近物理量的变化趋势。如图9中的D点表明当电流等于E/(2r)时，电源有最大的输出功率。

3.2 物理图像中“线”的物理意义

“线”：主要指图像的直线或曲线的切线，其斜率通常具有明确的物理意义。物理图像的斜率代表两个物理量增量之比值，其大小往往代表另一物理量值。如s-t图像的斜率为速度，v-t图像的斜率为加速度、Φ-t图像的斜率为感应电动势、U-I图像的斜率为负载的电阻等。

3.3 物理图像中“面”的物理意义

“面”：是指图线与坐标轴所围的面积。有些物理图像的图线与横轴所围的面积的值常代表另一个物理量的大小。学习图像时，有意识地利用求面积的方法，计算有关问题，可使有些物理问题的解答变得简便，如v-t图像中所围面积代表位移，F-S图像中所围面积为力做的功，P-V图像中所围面积为气体压强做的功。S-(1/v)图像与1/v轴所围的面积代表时间等。

3.4 物理图像中“形”的物理意义

“形”：指图像的形状。由图线的形状结合其斜率找出其中隐含的物理意义。例如在v-t图像，如果是一条与时间轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动；若是一条斜的直线，说明物体做匀变速直线运动；若是一条曲线，则可根据其斜率变化情况，判断加速度的变化情况。在波的图像中，可通过微小的平移能够判断出各质点在该时刻的振动方向；在研究小电珠两端的电压U与电流I关系时，通过实验测出在不同电压下通过小电珠的电流，作出U-I图线，得到的是一条曲线，通过对图线斜率的分析可得出：在实际情况下，小电珠的电阻随着温度的变化而发生了变化。

4.高中物理涉及的物理函数图像

高中物理常涉及到的函数图像有：V（速度）-t（时间）图像、S（位移）-t（时间）图像、波动图像、P（压强）-T（温度）图像、P（压强）-V（体积）图像、U（路端电压）-I（电流）图像、I（电流）-t（时间）图像等。从图像的层次看，有“点”、“线”、“面”、“形”四个不同的层次，从图像形状看，有直线型、正弦、余弦曲线型、双曲线型、抛物线型和其他型等。下面就分别举例说明它们的应用。

4.1 力学部分

（1）v-t图

例1 矿井里的升降机，由静止开始匀加速上升，经5s速度达到4m/s后，又以这个速度匀速上升20s，然后匀减速上升，经过4s停在井口，求矿井的深度。

解析：如果采用解析法，就得分三个步骤：第一，由于从静止开始，初速度为 0，由vt=at得到第一次加速过程中的加速度a1，再利用公式，得到h1；第二，利用匀速运动的位移公式得到h2；最后，先求出减速运动中的加速度a2，我们可以将这个减速运动看成是一个反方向的加速运动，所以同样利用得到h3。最终矿井的深度为。这道题采用解析法也不麻烦，但是对于马虎的同学来说可能会算漏或带错符号。如果我们利用函数图像法来处理这道题的话，会显得简单明了，且不易出错。首先，要懂题，建立直角坐标，根据习惯我们将速度设为纵坐标，时间设为横坐标，再一步一步根据题意作图，如下：

图10 chart 10

图10 中的梯形面积，即表示升降机运动的位移大小，通过计算梯形面积得到井深h。

（2）s-t图

例2 如图11表示甲、乙两运动物体相对同一原点的位移-时间图像，下面有关说法正确的是：

A. 甲、乙都做匀速直线运动

B.甲、乙运动的出发点相距s0

C.乙运动的速度大于甲运动的速度

D.乙比甲早出发t1的时间

图11 chart 11

图12 chart 12

解析：图中所示图像都是直线，所以甲、乙均是做匀速直线运动，故A正确。因t=0，甲图像与s轴的截距为s0，而乙图像表示乙在原点，所以出发点相距s0，故B正确。因乙图像的斜率大于甲图像斜率的绝对值，所以乙运动速率大于甲运动速率，故C正确。从图像中可以看出甲比乙早出发

t1的时间，故D选项错。

4.2 热学部分

（1）P-T图

例3 如图12示，一定质量的理想气体经历图示的一系列过程，ab，bc，cd和da这四段过程在P-T图上都是直线段，其中ab的延长线通过坐标原点o，bc垂直于ab，而cd平行于ab，由图可以判断：

A. ab过程中气体体积不断减少

B. bc过程中气体体积不断减少

C. cd过程中气体体积不断增大

D. da过程中气体体积不断增大

4.3 光学部分

（1）Ek−v图

例 4 用不同频率的紫外线分别照射钨和锌的表面而产生光电效应，可得到光电子最大初动能的Ek随入射光频率v变化的Ek−v图像，已知钨的逸出功是 3.28eV，锌的逸出功是 3.24eV，若将二者的图线画在同一个坐标图中，用实线表示钨，虚线表示锌，则正确反映这一过程的图是：

解析：在Ek−v图像中，斜率k=h，所以钨和锌的Ek−v图线应该平行，而图中横轴的截距在数值上等于金属的极限频率v0，v0越大截距越大，而钨的逸出功大于锌的逸出功，所以钨的极限频率大些，表示钨的实线与横轴的截距也应该大一些，故选A。

4.4 电学部分

(1) U-I图

例5 如图13所示，直线A为电源的路段电压U与干路电流I的关系图线，直线B是电阻R的两端电压U与电流I的关系图线，用该电源与该电阻组成闭合电路，则电源的输出功率P是多少？电源的效率又是多少？

图13 chart 13

解析：由直线B知R=1Ω，由直线A知E=3v，r=0.5Ω，当两者组成电路后，，故：

（2）I-t 图

例6 一矩形线圈位于一随时间t变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面（纸面）向里，如图14所示，图15表示磁场强度随时间的变化情况以I表示线圈中的感应电流，以图中的线圈上所示方向的电流为正，则图中的I-t图正确的是哪一个？

图14 chart 14

解析：由图像乙知，在0到1秒的时间内，磁感应强度均匀增大，那么根据楞次定律可以判断，感应电流的方向为逆时针的方向，与图示甲的电流方向相反，为负值，所以就可以由此先排除B、C选项。根据法拉第电磁感应定律，其大小为一定值，在2到3秒和4到5秒内，磁感应强度不变，磁通量不变，也就无感应电流产生，所以D错，结果选A。

图16 chart 16

4.5 实验部分

例7 在研究平抛物体的运动的实验当中，我们通过这个实验，描出平抛物体运动的轨迹，再根据图像求出平抛物体的初速度。实验结果示意图如图16所示。

过程是：实验时，使小球由斜槽的某一位置自由下滑，并由O点开始做平抛运动。先用眼睛粗略地确定做平抛运动的小球在某一x1值处的y1值。然后使小球从开始的位置滑下，在粗略确定的位置附近，用铅笔较准确确定小球通过的位置，并在坐标值上记下这一点。以后依次改变 的值，用同样的方法确定其他各点的位置。注意的是：每次应使小球从槽上的同一位置滑下。实验完成后，取下坐标纸，根据记录下的一系列位置，用平滑的曲线画出小球做平抛运动的轨迹。在轨迹选取几个不同的点，测出它们的横纵坐标，已知g值，利用公式求出小球做平抛运动的初速度v0，最后算出v0的平均值。

这就是典型的在实验中根据实验现象制作函数图像，通过对函数图像的分析来对问题做出解答，或由图像的性质、特点来总结物理规律。

5.如何应用函数图像法

图像法解题有许多优点，但如何让学生领会并掌握这种行之有效的方法却并非简单，下面着重从图像的坐标选取和图形的建立这两方面来加以讨论。

第一步，根据对图像的物理意义的把握，能自觉自如地处理解决与图像有关的物理问题，也就是要能看懂图像，就是要能够看出函数图像所表达的意义，不为图像的表面现象所迷惑，不要把问题中的几何图形、质点运动轨迹与图像中的函数图线混淆。

首先，教师在平时的教学中要经常地把物理概念、定义、规律、定律等的教学图像化，这样通过平时教学的潜移默化让学生对图像有个较扎实、深刻的理解。

其次，教师在教学分析图像时力求做到讲清、讲全、讲透。清：图像的物理意义要清，不拖泥带水；全：一个物理图像中所隐含的所有物理信息要分析全面，让学生对整个图像的物理意义有一个横向的理解；透：讲到一个图像时，应能举一反三把这个图像与以前学过的类似的图像联系起来，让学生能对图像有一个纵向的把握。

最后，平时的教学训练，教师要常收集一些有关图像的题目让学生训练。用一些图像法能一目了然而解析法较难解决的题目来训练学生，让学生深刻体会到图像法解题的妙处，使学生在内心深处渴望用图像法来解决物理问题。

例8 如图17中A表示电源的总功率与电流的关系，曲线B表示电源内部的发热功率与电流的关系图，试求电源的电动势和内阻；CD线段表示的物理意义，等于多少？

图17 chart 17

解析：首先要看懂图，分析这个图像，不难发现A的斜率即为电源的电动势3v，A、B相交的点表示电源短路的情况，进而能分析出电源的内阻为1Ω。进一步分析CD线段，它表示当电流为2A时，外电路的电功率。

例9 甲、乙、丙三物体同时同地出发作直线运动，它们运动的s-t图像如图18所示，在时间t0内它们的平均速率大小关系如何？

图18 chart 18

解析：分析这道试题时，且不可将这三条图线看成是物体的运动轨迹，由图可见，乙、丙均作单向直线运动，它们的路程是相同的，都为s0，而两者的区别在于，乙作匀速直线运动，丙作变速直线运动，甲作的是往复直线运动，它先沿直线运动到距离原点位移为sm（sm>s0），然后又返回至乙、丙运动的终点。可见甲运动的路程大于乙、丙通过的路程（三者的位移相同），甲通过的路程为，故。

像以上这两种例题非常能激起学生对图像法解决物理问题的兴趣，进而能熟练地掌握图像法的精髓，从而提高学生解决物理问题的能力。

第二步，在上述基础上，引导学生根据实际问题的要求，灵活地建立坐标，应用图像解决实际问题，就是要会画图像，根据题目的条件，运用物理定律和物理规律找到物理量之间存在的数学函数关系式，建立相应的X、Y轴，画出图像，将物理过程的变化和规律用不同的图像反映出来，再根据画出的图像进行综合分析。

例 10 已知蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m的B点所需的时间为多少？

解析：本题若采用将AB无限分割，每一等分可看作匀速直线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算。但如果我们用图像法解题根据题中一个关键条件：蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离巢的距离x成反比，即，作出图像，如图19所示，为一条通过原点的直线。从图上可以看出梯形ABCD的面积，就是蚂蚁从A到B的时间：

图19 chart 19

解本题的关键是确定坐标轴所代表的物理量，速率与距离成反比的条件，可以写成，也可以写成，若按前者确定坐标轴代表的量，图线下的面积就没有意义了，而以后者来确定，面积恰好表示时间。可见合理地选取坐标是应用图像法解决物理问题的关键所在。

例11 火车自甲站开出，先以匀加速前进时间t1，后以匀减速运动时间t2，正好到达乙站停止，如果甲乙两站相距为s，求火车的最大速度。

解析：此题可以运用数学公式进行解决，但较为繁琐，画出物理量变化的函数图像，再运用物理图像进行解题。作火车的v-t图像，如图20所示。

图20 chart 20

图像下“面积”在数值上表示火车通过的距离。故有：

从上面的五个例子中，我们看到，函数图像具备直观性，能显示出全过程的物理变化情况，有动感，数学形式相同的物理规律其图像也相同，某些情况下，运用图像求解比解方程运算简洁。

6.应用函数图像法的注意事项

为使学生能正确理解函数图像法在中学物理中的应用，我们在平时的函数图像教学中应特别注意以下几点：

首先，必须搞清楚纵轴和横轴所代表的物理量，明确要描述的是哪两个物理量间的关系。如辨析简谐运动和简谐波的图像，就根据坐标轴所表示的物理量不同进行区别。

其次，要认识图线并不表示物体实际运动的轨迹。如匀速直线运动的S-t图像是一条斜向上的直线，但物体实际运动的轨迹可能是水平的，并不是向上爬坡。

最后，要从物理意义上去认识图像。由图像的形状应能看出物理过程的特征，特别要关注截距、斜率、图线所围面积、两图线交点等。在很多情况下，写出物理量的解析式与图像进行对照，将有助于对图像物理意义的理解。

7.总结

物理函数图像是以解析几何中的坐标为基础，借助数和行的几何，即将描述取值运动形式的函数关系和几何血中的曲线问题相结合，来表现两个物理量之间的依存关系，从而直观、形象、动态地表达各种现象的物理过程和规律。

前边所举的例子告诉我们，物理函数图像，不仅是一种纯粹的数学表达，它还包含着丰富的内容。还是解决物理问题的一种重要手段，是培养学生数理结合、数像结合能力的一个行之有效的科学方法，它能反映清晰的物理过程，开辟新的解题途径，提供简洁的解题思路。我们在平时的教学中，只要善于培养学生识图、建图、用图的能力，并经常训练，达到熟能生巧，一定能有效地提高学生的抽象思维能力和分析解决问题的能力，提高学生的基本素质。

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王秀波（1984-），女，吉林白城人，和田师范专科学校物理系助教，主要从事物理教学与研究。

2011-03-2