K D V方程定解问题的一种新数值解法

郭瑞

（石河子大学师范学院 数学系，新疆 石河子 832003）

K D V方程定解问题的一种新数值解法

郭瑞

（石河子大学师范学院 数学系，新疆 石河子 832003）

本文用修正局部 Crank-nicolson 差分法求解了 KDV 方程的定解问题，新的差分格式避免了传统的显格式和隐格式的一些不足，是计算量少，精度高的显格式.最后进行数值试验,验证了它的正确性.

KDV 方程；修正局部 Crank-Nicolson 差分格式

1 引言

在众多的非线性发展方程中，K D V方程是最典型的非线性色散波动方程的代表，因其具有无穷多守恒律及在固体、液体、气体以及等离子体等不同科学领域中的丰富应用而得到了极其广泛的研究.所以，对 K D V方程的数值计算方法的研究具有重要的理论和现实意义.

有学者用有限差分法解 K D V方程.经典解法有L e a p f r o g差分 格 式 、G o d a差 分 格 式 、H o p s c o t c h差 分 格 式 等[1]，它 们 虽 很好的模拟了孤立子特性，但各有不足.由于 K d V方程具有无穷多个守恒律，孤立子碰撞以后形状与波速保持不变，所以人们经常从物理定律出发构造合理的差分格式，使其尽可能地保持原问题的物理性质.贺国强[2]构造了两种二阶精度隐式差分格式，虽然有很好的理论结果，但没有数值试验，不能很好地说明方法的可行性.毛德康、崔艳芬[3]构造了满足动量和能量守恒的二阶精度守恒格式，有很好的稳定性，特别适合长时间数值积分对流占优的 K D V方程，但该格式由于长时间的数值积分，导致相位差.又如朱少红、彭点云、王文洽等[4-7]对 K D V方程用有限差分法也进行初步研 究.近年来,阿布都热西提·阿布都外力提出了热方程的局部C r a n k-N i c o l s o n方 法[8]和 修 正 局 部 C r a n k-N i c o l s o n方 法[9].此后，蔡光程，罗红，开依沙尔·热合曼，程晓亮，黄鹏展等人都对 修正 局部 C r a n k-N i c o l s o n方法 进行了 研 究 .经 过 近 十 年 来的发展，修正局部 C r a n k-N i c o l s o n方法已经相对 比较 完善 ，但对非线性偏微分方程还未得到很好的研究，本文将对具有三阶项的非线性偏微分方程做一些工作.

2 KDV 方程的修正局部 Crank-Nicolson 差分格式的构造

对 K D V方程的标准形式简化，有如下形式

其中常数 ε可正可负，其正负号决定波的方向和形状（凸波或凹波）.

我们考虑如下形式 K D V方程的具有周期边界的初边值问题

其中 u是波速，ε 是色散系数，φ(x)是以 1周期的函数.下面我们定义一些差分算子

对 问 题(2)中 的 第 一 个 式 子 的 空 间 一 阶 微 分 项 用,三阶微分项用

常微分方程（3）对于初值向量

的解可以表为

图 1 T=0

图 2 T=0.5

图 3 T=1

图 4 T=1.5

图 5 T=2

图 6 T=3

其中

矩阵 Ai与文献[9]采用相同的分裂，如下：

格式（8）为显格式，且这种把大矩阵分裂为一些简单小矩阵，就可以直接的求出它的表达式，没有误差，这样就避免了以大型矩阵为系数矩阵的线性方程组，所以此格式计算量小，精度高.

3 数值试验

数值例子:双峰孤立波情形：

其 中 取 τ=0.0 0 0 5,h=0.0 2 5,ε=4.8 4×1 0-4,图 1—图 6描述了双峰孤波在对应时刻的运动图像，波 I在点达到振幅 3 C1，波I I在点达到振幅 3 C2，因 C1>C2，故波 I的速度比波 I I的速度快，t=0时表示孤波 I(高波)和孤波 I I(低波)的初始状态，孤波 I的速度比孤波 I I的速度快，t=0.5时刻，波 I追上波 I I，t=1时刻，波 I覆盖了波 I I，t=1.5波 I超过波 I I，直至t=2以 后波 I和波 I I分 离.可 见 修 正 局 部 C r a n k-N i c o l s o n差分格式可以模拟孤立波这一物理现象，与文献[1 0]模拟出的一致.

4 结论

本文用修正局部 C r a n k-N i c o l s o n差 分法 求解 了 K D V方程的定解问题，该差分格式是一种计算量少精度高的显式差分格式.通过数值试验验证了该法能模拟出孤立波这一物理现象，说明该差分格式是有效的.

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1673-260X（2011）04-0011-02