CES生产函数的贝叶斯估计

赵永

（河南大学环境与规划学院，河南开封475004）

CES生产函数的贝叶斯估计

赵永

（河南大学环境与规划学院，河南开封475004）

文章通过对CES生产函数及其几种参数估计方法的介绍，借助WinBUGS软件，用贝叶斯方法对中国农业部门CES生产函数的参数进行了估计，并进行了蒙特卡罗统计模拟检验。结果说明，参数估计结果合理；参数估计过程说明WinBUGS软件易操作、灵活，而且统计模拟结果的显示图文并茂，说明了WinBUGS在应用贝叶斯方法进行计量经济学估计时是一款优秀的软件。

CES生产函数；贝叶斯；WinBUGS

0 引言

自Arrow等（1961）[1]提出CES（Constant Elasticity Substitution）生产函数后，鉴于其更一般意义上的表达形式，在经济理论和实践中得到了迅速而广泛的研究和应用。由于CES生产函数强烈的非线性性质，其求解方法也就成为重要的研究内容之一。

对于CES生产函数，其参数主要有两类估计方法：第一类是利用边际生产力条件，第二类是直接计算方法。由于边际生产力条件与实际情况有较大距离，这种估计方法并不实用[12]，故一般采用直接计算方法。直接估计CES生产函数参数的方法有很多种，可以大概归为以下四类：Marquardt[8]提出的非线性最小二乘法，Kmenta[5]提出的Taylor级数线性化方法，Corbo[4]提出的两阶段方法（Thursby，1980）[10]，以及Chetty[2]、Tsurumi[11]等的贝叶斯方法。其中，Kmenta方法被广泛应用[4]，而当时受计算条件的限制，CES生产函数的贝叶斯估计方法没有被广泛应用。

本文主要介绍在小样本条件下借助WinBUGS软件，方便地运用贝叶斯方法对CES生产函数进行参数估计。

1 CES生产函数的贝叶斯估计方法

贝叶斯方法是基于贝叶斯定理发展起来的统计分析方法。经典统计学方法只利用样本信息，而贝叶斯分析的基本方法是将关于未知参数的先验信息与样本信息综合；再根据贝叶斯定理，得出后验信息；然后根据后验信息去推断未知参数[14]。贝叶斯定理可以描述如下：

式中，∝表示成比例。该后验概率密度集中了总体、样本和先验等三种信息中有关参数的一切信息，而有排除一切与参数无关的信息之后所得到的结果。先验信息通过先验密度进入后验密度，而所有的样本信息通过似然函数进入[13]。

对于规模报酬不变的两要素CES生产函数：

式中，Q是产出；K是资本；L是劳动；γ（>0）是效率参数；δ(0<δ<1)是份额参数，它容许资本与劳动的相对重要地位在生产过程中发生变化；δ和1-δ分别是资本和劳动的生产弹性；ρ(>-1)是替代参数，替代弹性σ=1/(1+ρ)。

对式（2）两边取对数，引入误差项ε，并假设K、L是外生变量且独立于ε，得到[7]：

其中，q=lnQ，k=lnK，l=lnL，α=lnγ。假设ε服从均值为零，方差为τ的正态分布，记参数向量θ=(α,δ，β，τ)。则似然函数为：

其中，μi=α-(1-ρ)ln[δ+(1-δ)e-ρ(ki-li)]。

对于未知参数的先验信息p(θ)=p(α，δ，β，τ)，假设α和τ分别服从正态先验分布和Gamma先验分布[7]；对于δ，由于其取值范围为（0，1），故把该区间上的均匀分布作为其先验分布；对于ρ，根据郑玉歆等（1999）[16]，中国不同部门的生产弹性值，σ=1/（1+ρ），其范围大致在0.1和2之间，故取（－0.5，9）区间上的均匀分布作为ρ的先验分布。

所以，给定观测数据Q、K、L后，根据式（1），参数向量的联合后验概率密度为：

基于式（5），运用积分方法，就可以得到感兴趣参数的后验密度。比如，如果对参数α、δ、β感兴趣，可以在式（5）中对τ进行积分，得到α、δ、β的联合后验密度。如果仅对δ、β感兴趣，可以继续对α做积分。如此，可以得到单个参数的边缘后验密度。

由于涉及到后验分布的多元积分，贝叶斯分析是复杂的[9]，而WinBUGS软件的应用使复杂的数值计算问题简单化，使参数后验分布的模拟、初始值的设定等变得非常方便。模型的任何改动，包括先验和样本误差分布的变化，只需改动较少的代码就可轻易实现。WinBUGS的出色之处就是其灵活性[9]。

2 WinBUGS软件及CES生产函数的贝叶斯估计

WinBUGS（Windows版本的BUGS：Bayesian Analysis Using Gibbs Sampling）是一种进行贝叶斯分析的界面友好、操作方便、运用灵活的专用软件。WinBUGS以马尔可夫链蒙特卡罗（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法为基础，将所有未知参数都看作随机变量；然后对此种类型的概率模型进行求解。它所使用的编程语言非常容易理解，允许使用者直接对研究的概率模型做出说明[15]。其他的贝叶斯分析软件，如基于Matlab或R等软件的BACC（Bayesian Analysis,Computation and Communications），BMA（Bayesian Model Averaging）等，对于模型的变动需要进行一些编程，不如Win-BUGS简单、灵活。《现代贝叶斯计量经济学引论》[7]、《应用贝叶斯模型》[3]等书中的分析工具就是WinBUGS。

对于式（3）的CES生产函数，在WinBUGS中可以用Doodle图（图1）或程序两种方法进行表达。WinBUGS程序如下：

在程序中，a对应于式（3）中的lnγ，sig对应δ，rho对应ρ，yl对应q-l，kl对应k-l，tau对应τ。sig和rho的先验分布是均匀分布（dunif），a和tau的先验分布分别是正态分布（dnorm）和Gamma分布（dgamma）。程序以关键字“Model”开始，“～”的意思是服从某种分布，对应于Doodle图中的实心箭头，“<-”的意思是被替代，对应于Doodle图中的空心箭头。在“～”左边的量是随机的，在“<-”左边的量是确定的。

模型所用数据见表1。模型先进行1000次预迭代，以确保参数的收敛性，再进行10000次迭代。从第1001次开始到10000次迭代的运行结果见表2。从表2中可以看出，a的均值是0.819，95%的置信区间是（-0.408，1.328），rho的均值是4.549，95%的置信区间是（0.244，8.748），sig的均值是0.491，95%的置信区间是（0.024，0.961），tau的均值是3.419，95%的置信区间是（1.391，6.376）。图2是对参数a、rho、sig和tau的后验概率分布密度的估计。

表1 模型运用数据

表2 模型运行结果

对于任何以MCMC为基础进行的概率模型分析，MCMC模拟的收敛性的判断是非常重要的一步。在模型针对两组初始值进行的1000次迭代中，收敛性诊断图（图3）中各参数趋于收敛。

3 讨论

基于马尔可夫链蒙特卡罗（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法的WinBUGS软件，使复杂的数值积分简单化，使参数先验分布的设定、初始值的选择变得方便，使贝叶斯分析模式化。而且，参数的估计结果和统计模拟检验的显示图文并茂，对于计量经济学以及其他学科中较复杂函数的参数进行贝叶斯估计提供了极大方便。

另一方面，与经典统计方法相比，贝叶斯方法是基于先验信息的，若不加思考地利用贝叶斯方法则不可取。如果存在很强的先验信息，这时可以应用贝叶斯方法；如果有大量的数据和相对较弱的先验信息，则不可过分强调使用贝叶斯方法。

[1]Arrow K.J.,H.B.Chenery,B.S.Minhas,R.M.Solow.Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency[J].Review of Economics and Statistics,1961,43(5).

[2]Chetty V.K.,U.Sankar.Bayesian Estimation of the CES Production Function[J].The Review of Economic Studies,1969,36(3).

[3]Congdon P.Applied Bayesian Modelling[M].Chichester:John Wiley&Sons,Ltd,2003.

[4]Corbo V.A Search Procedure for Least Squares CES Estimates:A Monte-Carlo Study[J].Southern Economic Journal,1977,43(4).

[5]Kmenta J.On the Estimation of the CES Production Function[J].International Economic Review,1967,8(2).

[6]Koop G.Bayesian Econometrics[M].Chichester:John Wiley&Sons Ltd,2003.

[7]Lancaster T.An Introduction to Modern Bayesian Econometrics[M].Massachusetts:Blackwell Publishing Ltd.,2004.

[8]Marquardt D.W.An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters[J].Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics,1963,11(2).

[9]Meyer R.,Yu J.BUGS for a Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models[J].Econometrics Journal,2000,3(2).

[10]Thursby J.Alternative CES Estimation Techniques[J].The Review of Economics and Statistics,1980,6(2).

[11]Tsurumi H.T.Y.A Bayesian Estimation of Macro and Micro CES Production Functions[J].Journal of Econometrics,1976,4(1).

[12]李子奈.计量经济学——方法和应用[M].北京:清华大学出版社,1992.

[13]阿诺德·泽尔纳Arnold Z,著.计量经济学贝叶斯推断引论[M].上海:上海财经大学出版社,2005.

[14]刘乐平，袁卫.现代贝叶斯分析与现代统计推断[J].经济理论与经济管理,2004，(6).

[15]吴方卫.我国农业资本存量的估计[J].农业技术经济,1999，(6).

[16]郑玉歆，樊明太.中国CGE模型及政策分析[M].北京:社会科学文献出版社,1999.

C81；O212

A

1002－6487（2011）07－0042-02

国家自然科学基金资助项目（40901284）

赵永（1974-），男，河南上蔡人，副教授，研究方向：可计算一般均衡（CGE）模型和地理信息系统（GIS）。

（责任编辑/易永生）