探析集合课程教学内容的内涵

2011-10-21龚光剑

大众科技 2011年5期

关键词：字母符号对象

龚光剑

（广西右江民族商业学校，广西百色 533000）

探析集合课程教学内容的内涵

龚光剑

（广西右江民族商业学校，广西百色 533000）

集合语言是现代数学的基本语言，集合的初步知识与其他数学知识内容有着密切的关系。通过对集合知识内涵的探讨，掌握集合的有关知识，对学习、掌握和使用数学语言有好处。

探析；集合；内涵

集合语言是现代数学的基本语言，集合的初步知识与其他数学知识内容有着密切的关系。通过对集合知识内涵的探讨，掌握好集合的有关知识，是学习、掌握和使用数学语言的基础。本文将结合实际从不同角度多层面对集合的各知识点进行剖释，以便学习者能更快更好更易地从各方面了解集合内容的深度和广度，帮助学习者更好地理解集合知识，运用集合知识解决数学问题。

（一）重点难点

1.集合的概念

集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出描述性说明：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。组成集合的对象叫元素。集合常用大写字母A，B，C，……来表示，元素常用小写字母a，b，c，……来表示。

集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成一个集合。

提醒：（1）对于集合，我们一定要从整体的角度来看待它。例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体，也可以用我们班的序号来代替它。

（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一个方面，任何一个确定的对象都要可以组成一个集合，如人、动物、物体、数、方程，不等式都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为“我们年级各班”组成的集合B的元素。

（3）构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的；“不同”是指构成集合的各个对象互不相同。

特殊数集的表示：N*=｛正整数｝，N=｛自然数｝，Z=｛整数｝，Q=｛有理数｝，R=｛实数｝。

2.元素与集合的关系

元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素 a属于集合A，记作a∈A;元素a不属于集合A，记作a∉A。

提醒：（1）符号“∈”及“∉”表示元素与集合之间的关系，即属于与不属于，它不能表示集合与集合之间的关系。

（2）a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A，a∈A与a∉A这两种情况有且只有一种成立。

例：用符号∈与∉真空：分析：要注意字母所表示集合的含义。

3.集合元素特征

（1）元素的确定性：设A是给定的一个集合，a是某一具体对象，刚a或者是A的元素或者不是A的元素。两种情况必有一种且只有一种成立。例如：元素-2是方程y²+3y+2=0所有实数根所组成集合的元素，而2不是其集合的元素。

（2）元素的互异性：对于给定的集合中任意两元素都是不同的，即元素不能重复。如方程 x²-4x+4=0的根构成的集合只有2一个元素，不能出现有两个重复的元素2，2。

（3）元素的无序性：在给定的集合中元素之间顺序关系，即集合中的两元素交换次序后所得的集合与原来的集合是同一个集合。如由2和3构成的集合与方程y²-5y+6=0的根构成的集合是同一个集合。

集合的元素必须具备确定性、互异性、无序性；反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合。

集合的元素的“三性”，既是解决有关问题的切入点，又是我们解题的疏忽与易错点。

4.集合的分类

按集合的元素个数的多少，可分为有限集、无限集。

空集就是不含任何元素的集合，空集可用“φ”表示。

提醒：（1）空集就像一个无处不在的幽灵，要处处设防，时刻提高警惕，才不至于掉进空集这一陷阱之中。

（2）由于φ中没有元素，即0个元素，规定它属于有限集。空集虽不含任何元素，可它却有两个方面的作用：

②空集在反映集合与集合之间的关系上直到“桥梁”的作用，使一些难以表达的总是得到简明扼要地表达。如由直线 + =4点组成的集合A，由抛物线 =- ²上的点组成的集合B，则由A与B的公共元素组成的集合可简记为φ。

（二）方法技巧

1.列举法

用列举法表示集合，就是把集合的元素一一列举出来，并写在大括号内。

提醒：用列举法表示集合时，必须注意如下几点：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合的元素必须是明确的；（3）不必考虑元素出现的先后顺序；（4）集合的元素不能重复；（5）集合的元素可以表示任何事物；（6）对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如N*=｛1，2，3，…｝。

2.描述法

描述法就是把集合的元素所具有的属性描述出来，并写在大括号内，它又分为（1）文字描述法——用文字把元素所具有的属性描述出来，如{自然数｝；（2）符号描述法——用符号把元素所具有的属性描述出来，即｛ |P( )｝或｛

∈A|P( )等。

提醒：（1）用符号描述法表示集合时注意：弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合、还是其他形式？元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围。

例：用描述法表示下列集合：

思考：用描述法表示集合的优、缺点在哪里？

描述法突出了元素所具有的属性，其中文字描述法通俗易懂；而符号描述法则简洁概括，但有点抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。

（3）解决用符号描述法表示的集合的问题时，首先要弄清元素所具有的形式；其次透过符号的表象，弄清元素到底具有怎样的属性。这就需要仔细审题，透彻地理解题意，有时还需要借助特殊的探讨方能顺利地解决问题。

3.Venn图法

Venn图法就是一个用一条封闭的曲线圈成一个区域来表示一个集合。如集合A=｛2的倍数｝和B=｛3的倍数｝可表示为下图。

4.集合表示的常见错误

使用列举法表示集合最容易出现下述两类错误：

一是没有弄清集合的元素所具有的形式，就胡乱表示．

例如：集合｛ x²-9=0｝与｛x|x²-9=0， ∈R｝，容易将前者与后者等同起来，事实上前都是用列举法表示的集合，元素是等式“ ²-9=0”，而后者是元素是实数 3和－3。

二是没有准确把握符号描述法中的符号所描述的具体属性。

例如：区别符号“0”“ φ”“｛0｝”“｛φ｝”。

事实上“0”是一个数，它可以作为集合的元素；而“φ”则是一个集合，由于集合也可以作为另一个集合的元素，因此“φ”也可以作为某些集合的元素；“｛0｝”则是由数 0组成的一个单元素集合；“｛φ｝”是由“φ”为元素组成的一个集合。

（三）迁移创新

1.集合语言

集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言。集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下：

集合语言的不同形态各有自己的特点，符号语言比较简洁、严谨，可大大缩短语言表达的“长度”，有利于推理、计算；图象语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互间的关系，在抽象的数学思维面前起着具体休和帮助理解的作用；普通语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，教科书上的概念、定理等多以普通评议叙述。在数学解题中，如果数学问题有抽象的字母和符号语言出现，解题能力强的人在审题时往往会先画出草图或把问题变为普通语言。如果问题是以普通语言形式表达的，如应用题，为了便于计算和进行推理，则往往需要引进字母变量建立数学模型。尤其是几何问题，离开符号语言将寸步难行。这些都说明解题时各种语言间的互译是必要的，它可达到简缩思维过程的目的，摆脱思维受阻的困境，有时还能产生妙解。

2.解决集合问题的关键

解决集合问题的关键：弄清集合由哪些元素所构成的．如何弄清呢？关键在于：（1）把抽象问题具体化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合．当集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合。（2）运用“元素分析法”。元素分析法就是抓住元素进行分析，也就是抓住元素进行分析，也就是元素形式（即代表元）如何？元素应具有哪些属性？元素是否满足“三性”（确定、互异、无序）？

运用元素分析法解题，能准确理解和把握集合的内涵，能有意识地引导我们分析集合是由哪些元素所组成的，而且还能有效地避免解题的错误。