一种效率测度的新方法：随机非参数数据包络分析法

籍艳丽，赵丽琴

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟215500；2.山西财经大学统计学院，太原030006）

一种效率测度的新方法：随机非参数数据包络分析法

籍艳丽1，赵丽琴2

（1.常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟215500；2.山西财经大学统计学院，太原030006）

考虑到随机前沿法（SFA）和数据包络分析法（DEA）的不足，文章介绍了一种新的效率测度方法——随机非参数数据包络分析（StoNED）。该方法结合了SFA和DEA两者的优点，具有更好的理论基础；而且，借助于软件GAMS，可以进行求解。新的方法可以更加科学地对效率进行测度。

效率；随机前沿法（SFA）；数据包络分析法（DEA）；随机非参数数据包络分析法（StoNED）

0 引言

近年来，对于效率测度的研究很多，这些研究大多采用两种方法——参数方法或非参数方法，它们的区别在于是否构造一个“生产前沿面”。参数方法根据不同假设选定生产函数的不同形式并对其中的参数进行估计，而非参数方法无需估计前沿生产函数的参数及函数具体形式。使用较多的分析技术有两种，一是数据包络分析法（Data Envelopment Analysis-DEA），其属于非参数方法；另一是随机前沿法（Stochastic Frontier Approach-SFA），其属于参数方法。其中，DEA是一种运用线性规划的数学过程，用于评价生产决策单位的效率，其目的就是构建出一条非参数的包络前沿线，有效点位于生产前沿上无效点处于前沿的下方；SFA是把生产前沿面看作是随机的生产边界而采用统计方法求解参数的随机性参数前沿生产函数方法。

那么，DEA法和SFA法在测算决策单位的效率时，何者更优？作为一种非参数方法，DEA方法的主要优点在于不需要指定生产函数的形式或分布假设，从而避免了相应的设定误差，同时解决了各决策单位的最优化问题，并能同时提供多个效率测算指标；但是，该方法将任何对生产边界的偏离都度量为非效率成分，即不能将随机误差分离出来。作为一种参数方法，SFA方法的主要优点在于，能够较好地将纯粹的随机误差与非效率值相分离；但是，在估计生产函数的相关参数时，不恰当的函数形式或误差项的分布假设会潜在地将设定误差与效率估计混淆。这样看来，在测度效率时，两者各具优点，但也有各自的不足，没有经验显示其中一种方法绝对优于另一种。因此，在结合两者的优点基础上，我们介绍一种测度效率的新方法——随机非参数数据包络分析法（StoNED）。

1 模型设定

StoNED方法是Kuosmanen在SFA和DEA的基础上发展起来的一种非参数前沿分析方法。为简便起见，我们这里使用一种代表性模型。用经典的生产函数f:y=f(x)表示生产技术，该函数概括了生产可能集。而生产函数事先并不知道，与DEA法相同，假定f属于单调递増的凹函数，用F2来表示，这些假设和生产函数的公理相一致。不同于SFA法，事先没有假定具体的函数形式。相反地，我们内生地选择函数f，这样，确定部分的生产函数采用了与DEA法相同的非参数处理技术。

与DEA法不同，我们引入随机成分，而这一随机成分遵循SFA的通常设定。决策单位i产出的观察值yi不同于f(xi)，合成残差εi=vi-ui，其中ui为无效率项，vi为误差项。正式地：

2 模型估计

与SFA文献的修正普通最小二乘法（MOLS）相似，我们采用矩方法来估计StoNED模型（1）。估计方法包括三步：①对残差赞=（赞1，…，赞n）的最小二乘估计；②基于残差分布的二阶m2和三阶矩m3，对于方差σ2u和σ2v的估计；③基于条件分布的无效率项赞i的估计。此外，在得出无效率项后，可以继续通过计算，最终求出StoNED的效率值E。基于此，本文对模型的估计采用三个步骤。

为便于计算，在StoNED模型中，我们采用非参数回归技术（称为凹面非参数最小二乘法（CLNS））代替普通最小二乘法OLS。与OLS相比较，CNLS不同点在于考虑了单调和凹回归函数的更一般的非参数形式。正式地，CNLS模型可以改写为一个二次规划问题。

对于一个事先未设定的函数形式，模型(2)的CNLS估计n个切超平面。斜率系数β'i代表投入i的边际产出。第二个约束条件通过应用一系列不等式（被称为“Afriat inequalities”）对函数施加了凹性限制。第三个约束条件对函数施加了单调递增性限制。

生产函数f的CNLS估计为分段线性方程，这点与DEA前沿面非常相像。然而，模型（2）的最小二乘与线性规划DEA在许多方面都不同。首先，DEA模型对每个决策单位分别进行线性规划求解，而模型（2）同时考虑所有决策单位的残差ε赞，进而求解。其次，DEA模型借助于相对尺度的乘法效率，而模型（2）采用绝对尺度的偏离前沿面的加法效率，这点与SFA文献相一致。再次，EDA模型仅仅提供生产前沿面的隐性代表，而模型（2）清晰地描述了生产函数的边际特征。最后，最重要的不同之处在于DEA模型对ui限制在单侧，而CNLS模型（2）对ui不加限制。

这里CNLS可以通过GMAS（General Algebraic Modeling System）软件进行估计。

这些矩是真实矩μ2和μ3的一致估计量，它们依赖于无效率项和误差项。

因此，方差σ2u和σ2v能够从m2和m3简单地估计出来。这个估计以合成误差ε的分布的偏斜为基础，它是由于无效率项导致的。因此，三阶矩m3理论上应该是负。

关于方差估计，我们可以对无效率项使用条件估计量。Jondow等（1982）指出，考虑到赞的无效率项ui的条件分布是截尾正态分布，且均值，方差作为ui的一个点估计量，我们可以使用条件期望值E(ui|i)，作为无效率项的值。也即：

其中，覬是标准正态密度函数，ψ标准正态累积分布函数。公式（7）的条件均值有一直观解释：条件分布的众数μ*和标准差σ*与正态危险函数覬（-μ*/σ*）/（1-ψ（-μ*/σ*））的乘积之和。作为可供选择的点估计，可能在条件分布的众数μ*与0两者中选择较小者。同样，我们能够得到基于条件分布的无效率项的区间估计（见Horrace和Schmidt，1996）。100（1-a）%置信区间为：

其中，zL=覬-1（1-（α/2）α（μ*/σ*）），zU=覬-1(1-(1-α/2))覬(μ*/σ*)。

2.3 效率值E的估计

在公式（1）中，由无效率项ui和误差项vi组成的合成残差εi，使得决策单位的产出yi观测值会与f(xi)值出现差异，同时给方程两边除以f(xi)，由于两者之间的差异是无效率项引起的，而不是误差项，因此决策单位的效率计算公式为：

其中E（vi）=0，因此（9）式变为

这样，采用凹面非参数最小二乘CNLS技术以及一些矩估计，我们得到了决策单位的效率值。这只是一种简单可行方法之一，比如在求方差时，还可采用极大似然估计法，而且，这里我们只讨论了简单的截面模型，同样的思路可以扩展到面板模型（见Kuosmanen,2006）。这里不再讨论。

3 结束语

随机非参数数据包络分析（StoNED）既考虑了SFA的残差分解为无效率项和随机误差项的优点，同时也考虑了DEA的非参数分段线性前沿的优点。该方法把前沿分析中的参数和非参数方法综合到统一框架下。从根本上来看，StoNED在没有影响DEA和SFA优点的同时把两者结合起来。该模型建立在SFA和DEA认可的标准公理和假设之下；在分析过程中极大地依赖于SFA和DEA所建立的概念和原理，不需要引入新的概念或工具，因此该方法比较容易理解和掌握。而且，借助于软件GAMS，我们可以对决策单位的效率进行测度。总之，StoNED法具有巨大的现实意义。

[1]Aigner D.J.,P.Schmidt.Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Models[J].Journal of Econometrics,1977,(6).

[2]Horrace W.C.,P.Schmidt.Confidence Statements for Efficiency Estimation from Stochastic Frontier Models[J].Journal of Productivity Analysis,1996，(7).

[3]Jondrow J.,I.S.Materov,P.Schmidt.On Estimation of Technical Inefficiency in the Stochastic Frontier Production Function Model [J].Journal of Econometrics,1982，(19).

[4]Kuosmanen T.Stochastic Nonparametric EnvelopmentofData: Combining Virtue of SFA and DEA in a Unified Framework[C]. MTT Discussion Paper,2006.

（责任编辑/易永生）

O21

A

1002－6487（2011）05-0033-02

籍艳丽（1978-），女，山西长治人，博士，讲师，研究方向:统计理论与方法。

赵丽琴（1978-），女，山西原平人，博士，讲师，研究方向：多元和数据分析。