数学分析教学中应培养的几种思想与方法

2011-10-10鲍芳

湖北开放大学学报 2011年3期

关键词：师范院校导数概念

鲍芳

（太原大学外语师范学院，山西太原 030012）

数学分析教学中应培养的几种思想与方法

鲍芳

（太原大学外语师范学院，山西太原 030012）

针对师范院校《数学分析》教学现状与适应新课程的教师教育改革，提出当前师范院校数学分析课程应体现的数学思想与方法的渗透与教学，这是实现师范院校培养实用型优秀教师的有效途径。

数学分析；数学思想；数学方法

师范院校承担着为国家培养未来教师的重任，在大力提倡实施素质教育，培养学生创新能力的今天，师范院校的教学应站在培养具有实际应用能力的人才的高度上来改进教学，用现代教学观指导教学。对于数学专业而言，要提高本专业的综合素质，必须培养学生的专业素质即数学素质。数学素质主要是一种数学思维方式，它既包括逻辑思维，也包括从现实生活中提炼数学问题的直觉，形成数学概念的抽象，运用数学语言的能力，构造数学模型的实践以及运用数学知识去解决问题的意识和能力。《数学分析》是师范数学专业最重要的基础课之一，其内容丰富，教学垮时长，对学生影响深远。《数学分析》不仅是学习某些后续课程的基础，而且在中学数学教学中，如：求切线方程、求极值、判断函数增减性、证明不等式、求弧长等都具有很大的指导作用，它的基本概念、思想和方法可以说无处不在。因此在教学的每一个环节都要注重数学思想方法的渗透。

1．现状

师范教育历经百年，其教育体制和模式有当时的合理性和历史贡献，但也应看清它的时代局限。

1.1 教材内容几乎是纯理论叙述，教师在授课时过分注重理论体系而忽视了应用，与社会实际联系不明显，很难引起学生的兴趣；

1.2 教材内容普遍只见定义、定理、推导、证明，而对思想方法则很少提及，教师在数学分析的教学中只重逻辑思维能力和分析运算能力的培养，轻培养学生解决问题的思想方法能力的培养；

1.3 教师的教学方法单一，教师教育培养模式大多以封闭模式为主，教育理论和教育实践严重脱节，照本宣科，学生提不起兴趣。

这些缺陷不利于师范生形成宽厚的知识基础、良好的职业技能和优秀的综合素质，制约师范生职后的发展。

2．数学思想

2.1 极限的思想

极限思想是数学分析的精髓，是用来衡量na和a的接近程度的，愈小，表示接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制。尽管有它的任意性，但当一经给出，就应暂时看作固定不变的，即又有确定性，给定以后，便可根据它来确定N。正是极限概念中扮演主要角色的的二重性，即的任意性和确定性，深刻地反映了有限与无限的对立统一的辩证关系，有机地将有限和无限、初等数学与高等数学结合起来。而数学分析中最重要的一些基本概念

例如：设函数 f (x)在区间（ −a,a）上连续，证明：

2.2 数形结合思想

数形结合的思想，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。

分析：如果按课本那样直接去证明，学生知道了这个等式可用换元法来推导，但是理解起来似乎不那么容易。如果用数形结合的思想方法进行分析，那么结果就很明显了。

图1

图2

在图1中， f (x)是奇函数， A1表示由 y = f(x)， y =0及围成图形的面积， A2表示由 y = f(x)， y =0及围成图形的面积，而则

在图2中， f (x)是偶函数， B1表示由围成图形的面积， B2表示由围成图形的面积，而

在数学分析中，还有很多结论可用数形结合的思想来解决，如拉格朗日中值定理、闭区间上连续函数的性质、利用积分区域的图形求重积分等。在教学中可引导学生用数形结合的思想来得出这些结论，这要比纯理论证明更好理解。而在中小学数学中，数形结合思想同样有着广泛的应用。所以对于师范院校，数学分析课程就要注重培养师范生这种数学思想的形成，这对他们今后的教学将会有很大的帮助。

2.3 数学建模思想

培养学生的数学素质，数学建模是有效的途径。在信息时代，数学已经不仅仅是一种基础理论，而且还是一种可以直接产生经济效益的数学技术，计算机给数学研究和数学教学带来了深远的影响。因此，在数学分析教学中，充分利用数学建模的思想来进行教学，对培养学生观察力、想象力、逻辑思维能力以及分析、解决实际问题的能力都起到了很好的作用。

例如，在引入无穷级数这一个概念时，可以介绍古希腊哲学家芝诺所提出的“阿基里斯追龟悖论”。芝诺的悖论在于他把阿基里斯追乌龟时，乌龟向前爬的距离分成无限段，然后一段一段加以叙述。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟，实质就是在无限次追赶中，乌龟向前爬的距离之和为无穷大。在此提出了无限项求和的问题。此前，学生熟知的是有限项求和的概念，如何将有限转为无限呢?很自然地就用到了极限这一概念。利用已知的有限项求和，结合极限方法，得出了无限项求和的基本方法。这样的设计不但能更好地引进无穷级数的概念，也能极大地激发学生的兴趣。

新课程改革中强调要加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，培养学生分析和解决问题的能力，这就要求师范院校在教学过程中要注意将知识与实际生活多联系，在数学分析教学中利用建模的思想来培养师范生分析、解决问题的能力就是非常有效的一个途径。

2.4 转化的思想

将我们要解决的问题通过转化为已经解决或者容易解决的问题上来，从而使问题得到解决的思想就是转化的思想。如海涅定理实现了数列极限与函数极限的转化，格林公式给出了平面上的第二型曲线积分与二重积分之间的转化，无穷小与无穷大、广义积分与级数、重积分与累次积分等都可进行转化。可见，转化是数学分析中常用的一种基本思想。

3. 数学方法

数学中有很多常用的方法，如类比推理法、归纳推广法、猜想发现法等。在解题中，引导学生选取适当的方法解决问题，也是提高学生解题能力的途径之一，同时还可以促使学生多创新，得出更多的结论。

3.1 归纳推广

在《数学分析》中，数学概念是比较抽象的，学生往往不明白为什么要这样来定义，有什么用处，所以在讲授数学概念时需要让学生理解问题是怎样提出的，概念是如何形成的。在对相关概念进行讲授时，可通过案例教学，由学生自己归纳得出。例如，对导数这部分内容，不应只停留在要求学生掌握几个求导公式，会进行简单求导上，而应由具有实际背景的实例来引入。导数概念一般是由瞬时速度和切线斜率引入的，当然还可通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、加速度、电流强度等反映导数应用的实例来引入，引导学生在实例中归纳出瞬时变化率就是导数。

再如，利用导数讨论函数图像，是大可结合中学实际的。就拿二次三项式的图像的讨论来说，我们知道它的图像是一抛物线，利用导数知识，从知道当 a > 0 时，曲线开口向上，是凸的，而当 a < 0 时，曲线开口向下，是凹的。当y ' = 2 a x + b = 0时，即处函数有极值

经过这样简单的讨论，利用导数知识，对二次三项式的图像的认识就更清楚了。中学数学中许多极值问题的研究，正是依据二次三项式的知识引出的。而导数的知识给予我们一个更有力的方法，它可以推广到解决更为广泛的极值问题上来。在这部分的教学中，既要注意把应用导数解决极值问题的一般原理教给学生，同时可选取一些中学课本里的极值问题给学生用新的方法去解决，进行比较，让学生体会出用导数求极值的方便之处。

3.2 类比推理

类比推理法是指根据两个问题有一部分特征相类似，从而推出其他特征也可能相类似的一种推理方法。

例如：在讲函数极限的概念时，学生理解起来比较困难，但是，学生对数列极限概念比较熟悉。教师在讲函数的极限定义时，可与数列极限定义相类比来启发学生自己给出定义。首先教师指出函数的极限与数列的极限相类似，都是描述在自变量无限增大的过程中，函数值无限接近于一个常数的变化状态。根据这一特点，可类比数列极限定义来定义函数的极限。接着让学生找出数列极限与函数极限的对应关系来：最后学生根据这个对应关系很容易得出 f (x) (x→+∞)的定义。这时，教师要向学生说明这种得出定义的方法是类比推理法，在数学分析中有着广泛的应用，如广义积分与定积分、格林公式与高斯公式等的类比，并向学生介绍类比推理法的内涵及在数学分析中应用这种方法所得出的一些重要结论，让学生充分认识到这种方法的重要性。

函数关系式nay= )(xfy=定义域 N ),(+∞a自变量的变化趋势 ∞→n ∞→x函数值的变化趋势 aan→ Axf→)(

在教学中还要合理运用启发式和发现猜想等方法，注重培养学生的创新思维能力、形象思维能力、发散性思维能力等。如在函数凸性的教学中可以使用直观发现法进行教学，对于莱布尼兹公式，可先让学生观察 y ' = u 'v + u v '，

y '' '= ( u''v + 2 u'v '+ u v '' )'= u '''v + 3 u''v '+ 3 u'v '' + u v '''，学生不难发现，上述几个式子与二项式(u + v )n展开式极为相似，则学生会猜想出，接下来只需用数学归纳法证明这个式子是正确的。对于这个公式的理解，学生通过自己猜想、证明来得出相关结论就要比教师直接证明要有效的多。