Bernoulli分布中参数p的近似置信区间及应用

周 小 双

(德州学院 数学系，山东 德州 253023；山东大学 数学科学学院，山东 济南 250100)

Bernoulli分布中参数p的近似置信区间及应用

周 小 双

(德州学院 数学系，山东 德州 253023；山东大学 数学科学学院，山东 济南 250100)

给出了Bernoulli分布中未知参数的4种不同形式的近似置信区间，包括基于Hoeffding不等式和Bernstein不等式两种新的置信区间，并通过模拟比较了置信区间在大样本和小样本情形下的优劣．

置信区间；Bernoulli分布；Hoeffding不等式；Bernstein不等式

参数估计是统计推断的主要内容，主要包括点估计和区间估计．点估计通常是对未知参数给出一个估计值，而区间估计则是在一定的置信水平下，将未知参数包含在一随机区间内．本文主要以 Bernoulli分布为例，给出了未知参数p的几种置信区间，并通过随机模拟从精确度和有效度两方面比较了不同形式的置信区间在大样本和小样本情形下的优劣．

1 主要引理

引理1[1]14(中心极限定理)设随机样本X1,X2,…Xn独立同分布，且EXi=μ，

上述定理1和定理2的结论在一般教科书中有说明，我们给出了其详细的证明，下面我们给出本文的主要结论，利用Bernoulli随机变量情形下的Hoeffding不等式和Bernstein不等式得出另外两种形式的置信区间．

定理3 未知参数p的置信水平为1-α的近似置信区间可以表示为

3 模拟研究

在实际中，定理1和定理2的结果应用比较广泛，定理3和定理4的结果有一定的理论研究意义．我们应用Matlab软件主要对定理1和定理2的结果进行模拟研究，随机选取来自两点分布的样本，容量分别为5, 10,100, 200, 1 000，取 p=0.2，在 为0.01和0.05的条件下比较了不同形式的置信区间的结果．

表1 α=0.05时置信区间模拟比较

表2 α=0.01时置信区间模拟比较

比较上述结果可知，在小样本情形下，例如当n=10时，在同样的显著性水平下 α=0.01，区间(0.079 6,0.680 0)的长度比区间(0.001 0, 0.799 0)的长度短，第一种形式的置信区间总是优于第二形式，这是由于定理2的结果在证明过程中进行了两次近似，而定理1的证明过程只进行了一次近似，因而在小样本情况下第一种形式的置信区间结果应优于第二种，而在大样本情形下，两种置信区间的区别则没有小样本情形下明显，两者都给出了很好的区间估计．

4 应用

[1] 茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2] Wasserman L. ALL of Nonparametric Statistics[M].Beijing:Higher Education Press,2004.

[3] 吴喜之.统计学:从数据到结论[M].北京:中国统计出版社,2004:50-59.

[4] 王晓红.负二项分布中未知参数 p的一个区间估计[J].渤海大学学报,2009(4):333-335.

Abstract:In this paper we obtain four kinds of confidence intervals of unknown parameter in Bernoulli distribution, including the two new confidence intervals based on Hoeffding inequality and Bernstein inequality, and compare their small sample behavior and large sample property by simulation study.

Key words:confidence interval; Bernoulli distribution; Hoeffding inequality; Bernstein inequality

(责任编校：李建明英文校对：李玉玲)

Asymptotic Confidence Intervals of Unknown Parameter in Bernoulli Distribution and Its Simulation Study

ZHOU Xiao-shuang

(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou, Shandong 253023, China;School of Mathematics and Science, Shandong University, Jinan, Shandong 250100, China)

O212

A

1673-2065(2011)01-0007-03

2010-09-05

周小双(1981-),女,山东德州人,德州学院数学系讲师,山东大学数学科学学院在读博士生.