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具有两个时滞的SEIRS脉冲接种模型的周期解

2011-09-19仝耀华薛亚魁李录苹

关键词:中北大学耀华山西大同

仝耀华,薛亚魁,李录苹

(1.山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;2.中北大学理学院,山西太原 030051)

具有两个时滞的SEIRS脉冲接种模型的周期解

仝耀华1,2,薛亚魁2,李录苹1

(1.山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;2.中北大学理学院,山西太原 030051)

讨论了具有两个时滞的传染病脉冲接种模型,考虑了周期解的存在性和全局吸引性。

时滞;脉冲;周期解;全局吸引性

1 模型的建立

本文将考虑具有两个时滞的SEIRS脉冲接种模型[1-4]

总人口N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t),

由系统(1)知

当t≠kT时,由系统(2)可以得到

μK-(μ+d)N(t)≤N(t)≤μK-μN(t)。

而N(kT+)=N(kT),

由常微分方程的比较定理可得

简化模型(1)得到

系统(3)的初始条件是

考虑实际生物意义仅在

2 周期解的全局吸引性

在这一部分中,首先讨论系统的周期解的存在性。此时系统(3)不存在染病者,即I(t)=0,t≥0。在这个条件下,易感者,恢复者,总人口应满足

得到下面关于系统(5)的极限系统

由文献[5]可知系统(7)的周期解为

定理2.1如果R*<1,则系统(3)的周期解(Se(t),0,K-Se(t),K)是全局吸引的。其中

证明当R*<1时,取一个充分小的ε0>0,使得

由系统(3)的第一个方程,可得

S(t)≤(μ+γ)(K-S(t)。

考虑下面的比较系统

由文献[5]可知系统(10)的周期解

酸性解堵液加入胶塞中,在50~90℃条件下,1~4 h完全破胶,破胶液黏度低于5 m Pa·s,有利于从井筒排出。

xe(t)=K+(x*-K)e-(μ+γ)(t-kT),kT<t≤(k+1)T。

是全局稳定的。其中

令(S(t),I(t),R(t),N(t)是系统(3)满足初始条件(4)和S(0+)=S0>0的解,x(t)是系统(10)满足初始条件S(0+)=S0的解。

由文献[6],[7]可知存在k1>0,使得

S(t)<x(t)<xe(t),kT<t≤(k+1)T,k>k1。

也就是

由系统(3)的第二个方程,可以得到

令(S(t),I(t),R(t),N(t)是系统(3)满足初始条件(4)和I(ζ)=φ(ζ)>0(ζ∈[-ω,0]的解,y(t)是系统(12)满足初始条件y(ζ)=φ(ζ)>0(ζ∈[-ω,0]的解。

由文献[6],[7],有

结合实际可知

因此对于充分小的ε1>0,存在k2>k1(k2T>k1T+ω),使得对所有的t>k2T,有I(t)<ε1。

由系统(3)的第4个方程,可以得到

N(t)>μ(K-N(t)-dε1,t>k2T。

当t>k2T时考虑下面比较方程

由(13)和(16)可得存在k4>k3,使得

所以由系统(1)的第二个方程,可以得到

易知存在一个整数k5>k4,使得

因此当t>k5T时,由(17),(18)和系统(3)的第一个方程,可得

当t>k5T且k>k5时考虑下面比较系统

由文献[8],得到(19)的周期解

是全局稳定的。其中

由文献[6],[7]可知存在k6>k5,使得

因为ε1充分小,由(11)和(20)可得

kT<t≤(k+1)T是全局吸引的。也就是

又因为E(t)是正值且ε1充分小由(18)可知

推论2.1(Ⅰ)如果Kβe-μω≤(1+αΚ)(μ+d),无病周期解(Se(t),0,K-Se(t),0)是全局吸引的。

(Ⅱ)如果Kβe-μω>(1+αΚ)(μ+d),假如θ>θ*或者T<T*,无病周期解(Se(t),0,K-Se(t),0)是全局吸引的。

定理2.1描述了当R*<1时,系统(3)的全局吸引性。

[1]Baino D D v,Simeonov P S.Impulsive differential equations:periodic solution and applications[M].[s,l.]:Longman Harlow,1993.

[2]原三领,韩丽涛,马知恩.一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型[J].生物数学学报,2001,16(4):392-398.

[3]薛亚奎,吴文利.一类次线性脉冲时滞微分系统的渐近性[J].中北大学学报:自然科学版,2005,26(6):391-395.

[4]Cull P.Global stability for population models[J].Bull Math Biol,1981(43):47-58.

[5]Onofrio A D.Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model[J].Math Biosci,2002(179):57-72.

[6]Z Liu,R Yuan.Sstability and bifurcation in a harmonic oscillator with delays[J].Choas Solitons and Fractals,2005(23):551-562.

[7]Dong Y J,Zhou E X.An Application of coincidence degree continuation theorem in existence of solutions of impulsive differential equations[J].Math Anal Appl,1996,197(1):875-889.

[8]Kuang Y.Delay differential equations with applications in population dynamic[M].New York:Acadermic Press,1993.

〔编辑 高海〕

Periodic Solution to SEIRS Pulse Inoculation Model with two Delays

TONG Yao-hua1,2,XUE Ya-kui2,LI Lu-ping1
(1.School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009;2.School of Science,North China University,Taiyuan Shanxi,030051)

This paper discussed the infectious disease model with two delays,considering the pulse inoculation periodic solutions of the existence and global exponential attract sexual

delay;pulse;periodic solution;global attract sexual

O175

A

1674-0874(2011)02-0011-03

2010-10-11

仝耀华(1979-),女,山西大同人,硕士,助教,研究方向:生物数学。

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