基于光正交码构造的准循环LDPC码

黄 河，赵泽茂

(杭州电子科技大学通信工程学院，浙江杭州310018)

0 引言

低密度奇偶校验(Low Density Parity Check，LDPC)码是一种基于稀疏矩阵的线性分组码，然而由于提出时计算机处理能力的限制和相关理论的薄弱，该码并未引起人们的重视［1］。近年来人们重新研究了LDPC码，使这种优秀的编码理论开始复兴。LDPC码通常采用置信传播(Belief Propagation，BP)译码算法，而BP译码算法只有在校验矩阵中无环的情况下才能实现错误概率最小的最佳译码，因此使用BP译码算法难以达到最优的译码效果。准循环LDPC码是最为典型的结构化构造方法，由于其便于硬件实现，同时还有良好的译码性能，已被多个通信标准所采用。另外，利用有限几何的方法构造出了不含4环的LDPC码［2］，其码长和码率范围大，性能良好。本文基于光正交码的特性提出的准循环LDPC码的构造方法也是一种结构化的构造方法，其校验矩阵不含长度为4和6的环路，并且具有良好的性能。

1 准循环LDPC码的特性

准循环LDPC码是一类非常具有特点的结构化LDPC码，其结构特点大大地简化了编译码复杂度，可以采用移位寄存器在线性时间内完成编码。这些优良的特性，使其极具应用价值。准循环LDPC码的校验矩阵H以单位矩阵的循环移位矩阵和相同维数零方阵为子阵。通常，准循环LDPC码的校验矩阵可表示为

式中，I表示 L ×L 维单位矩阵，αi，j表示单位矩阵向右循环移动的位数，αi，j∈{－1，0，1，…，L －1}，1≤i≤m，1≤j≤n。当 αi，j= －1 时，定义 I(αi，j)为全零矩阵;当 αi，j非负时，I(αi，j)为单位矩阵的循环移位矩阵。可以将循环移位参数αi，j构成矩阵:

矩阵B被称为校验矩阵H的移位参数矩阵。一般情况下，当移位参数矩阵确定后，校验矩阵H相应的也就确定了。

移位参数矩阵B中每一条长度为2l的环路中各个点均不为负值，其环路可以表示为(αi0，j0，αi0，j1，αi1，j1，…，αil－1，jl－1，αil－1，j0，αi0，j0)。

根据文献3对准循环LDPC码的研究，有如下性质及推论。

2 光正交码的特性

光正交码是为码分多址光纤信道设计的一种专用码［4］，提出后得到人们的广泛关注，并取得了很多研究成果，其码字数量较为丰富。

定义 光正交码记为(n，ω，λa，λc)，是由一组互异的，长度为n，码重为ω的0、1序列组成的码的集合，并且每个码字(x0，x1，…，xn－1)的循环自相关函数和任意两个相异码字(x0，x1，…，xn－1)与(y0，y1，…，yn－1)之间的循环互相关函数分别满足:

这里的光正交码是根据周期相关来定义的，下标“⊕”是模n加，xi，yi∈{0，1}。式中λα为循环自相关值，λc为循环互相关值，当 λα=λc=λ 时，光正交码可记为(n，ω，λ)。

本文中所使用的光正交码均是λ=1时产生的光正交码，即(n，ω，1)光正交码。如果(n，ω，1)光正交码码集中码字个数等于(n－1)/ω(ω－1)，那么这个光正交码称为最优光正交码。本文中所使用的光正交码并不要求其一定是最优光正交码，主要是利用了光正交码码字的循环自相关和循环互相关特性。

现假设含有m个码字的(n，ω，1)光正交码集，其中每个码字通过循环移位生成方阵Mi，1≤i≤m，构造出矩阵M=[M1M2… Mm]，M是一个0，1矩阵。由于方阵Mi是循环移位矩阵，故其各列相当于其各行的翻转。根据(n，ω，1)光正交码的自、互相关特性，可得出矩阵M中任意两列的内积不会大于1，也就是说任意两列中最多有一个“1”元素重合，故可得矩阵M不含长度为4的环。但是不能保证矩阵M中不含有长度为6的环。如果直接对M用L×L阶单位循环矩阵填充的话，长度为6的环的数量将增长L倍。

3 准循环LDPC码的构造方法

由于用BP译码算法时，短环对译码性能影响很大，应尽量避免短环的存在，(n，ω，1)光正交码的循环自相关与循环互相关特性的约束，可以保证构造的校验矩阵中不含长度为4的环路，然后再利用第2节的推论可以消去所有长度为6的环路。

通常构造准循环LDPC码需要两个步骤:首先确定移位参数矩阵;然后用循环移位矩阵对移位参数矩阵进行填充。本文提出的基于光正交码的准循环LDPC码的构造方法具体步骤如下:

(1)根据所需LDPC码的列重、行重、码长、码率等参数，确定所需光正交码的个数m、光正交码的码长n以及单位循环移位矩阵的维数L×L;

(2)从选中的光正交码集中取出m个不同的码字，将这m个码字分别循环右移，生成m个方阵M1，M2，…，Mm，将这m个方阵组合成矩阵M=[M1M2… Mm]，pi，j为矩阵 M 中的元素;

(4)由于矩阵M中不含长度为4的环路，故经过步骤3后，移位矩阵B中依然不含长度为4的环路。然后检验移位参数矩阵B中的非零元素是否完全满足第2节的推论。如果不完全满足推论，则对移位矩阵B中的非负元素进行修正，使这些非负元素完全满足推论。经过这个步骤后，该移位矩阵构造的校验矩阵将不含长度为4和6的环路;

(5)最后根据移位矩阵B中的参数αi，j，使用相同维数的全零矩阵、单位矩阵、单位矩阵循环右移αi，j位的矩阵来填充移位参数矩阵，这样即可得到一个码率为(m－1)/m的校验矩阵H。

本文提出的构造方法参数选择比较灵活，通过调整光正交码的长度、个数和循环置换矩阵的维数等来确定码字的码长及码率。由于光正交码码字数量较为丰富，故LDPC码的码长、码率的设计也比较灵活。

4 仿真结果及分析

在加性高斯白噪声信道下，对本文新方法构造的准循环LDPC码采用高斯消元法进行编码，然后使用BP译码算法进行译码仿真，仿真工具使用Matlab，仿真中采用BPSK调制，最大迭代次数为100次。

仿真1 选取(21，3，1)光正交码集，然后选取该码集的两个相异码字，通过第3节中提出的构造方法构造准循环LDPC码，分别设置循环移位矩阵的维数为24和48，分别构造出码长为504和1 008的准循环LDPC码，两者码率均为1/2，并选取Mackay构造法［5］构造的相同码长、码率的码字做为比较对象。仿真结果如图1所示，其中OOCQC为本文构造的LDPC码，从图1中可以看出本文构造的准循环LDPC码在两种长度下的性能均优于Mackay码，并且在误码率达到10－6时，并未出现误码平台。

仿真2 根据(27，3，1)光正交码码集构造出的码长为1 296的LDPC码，码率分别为3/4，2/3，1/2。仿真结果如图2所示，不同码率相同码长的LDPC码在误码率达到10－6时，并未出现误码平台。

图1 在码长为504和1008时与Mackay码的比较

图2 在码率为3/4，2/3，1/2时的性能

以上仿真结果表明，新构造的基于光正交码构造的准循环LDPC码具有良好的性能，性能优于Mackay构造法，并且在误码率达到10－6数量级时，仍然没有出现误码平台。Mackay构造法构造的校验矩阵虽不存在长度为4的环路，但是存在一定数量的长度为6的环路，可以看出这些短环对译码性能还是有一定的影响的。

5 结束语

本文提出了一种基于光正交码的特性构造准循环LDPC码的方法，构造出了不存在长度为4和6的环路的准循环LDPC码。仿真结果表明，在采用BP译码算法时本文构造的准循环LDPC码具有良好的性能，且在误码性能达到10－6数量级时，并未出现误码平台。同时，可以灵活地调整LDPC码的码长及码率，使其在应用中有更多的选择。

［1］ Gallgaer R G.Low density parity check codes［J］.IRE Transactions Information Theory，1962，8(1):21 －28.

［2］ Kou Y，Lin S，Fossorier M P C.Low density parity check codes based on finite geometries:A rediscovery and new results［J］.IEEE Trans on Information Theory，2001，47(7):2 711 －2 736.

［3］ Fossorier M P.Quasi-cyclic low density parity check codes from circulant permutation matrices［J］.IEEE Trans on Information Theory，2004，50(8):1 788 －1 793.

［4］ 杨淑雯.全光光纤通信网［M］.北京:科学出版社，2004:336－257.

［5］ Mackay D J C.Good Error-Correcting Codes Based on Very Spase Matrices［J］.IEEE Trans on Information Theory，1999，27(5):399－431.