用3D画板优化蚂蚁爬行最短路线的课件制作
2011-08-28唐剑岚
☆宗 晓 唐剑岚
(广西师范大学数学科学学院,广西桂林 541004)
立体几何中的“蚂蚁爬行最短路线”是个经典问题,该课件的制作方法多样,但是纵观各种方法,皆是在二维的平面上解决问题,这样制作的图形缺乏立体感,教师不易操作,学生不易观看,而且方法原理复杂,学生不易理解。运用3D几何画板优化蚂蚁爬行最短路线的课件制作,操作便捷,原理简单,立体视觉化效果好。本文将通过蚂蚁爬行圆锥体这个案例来说明运用3D几何画板优化蚂蚁爬行最短路线课件的制作。
案例(如图1):在一个有盖的圆锥形的纸杯的杯口点A处有一只蚂蚁,它的家在圆锥的侧面某点F处,求蚂蚁沿纸杯表面爬行回家的最短距离?
图1
一、题意分析
蚂蚁沿着圆锥表面爬行回家有多种路线,总结分为两大类:沿着圆锥侧面和沿着圆锥的底面。根据两点之间线段最短的原理,这两大类中,最短路线分别是路线1:|AF|,路线 2:|AE|+|EF|,其中|AF|为平面截圆锥侧面的轨迹(如图2)。
二、制作步骤
1.制作圆锥
利用【3d基本工具】|【正交视图定点】,在正交视图中构造圆锥底面圆心center″及点Z作为圆周上的一点,构造圆。构造正交视图中圆center″圆周上的点Y;选中点Y和三维坐标系中的点Y,构造【轨迹】。在正交视图中构造圆锥顶点C。选择三维坐标系中的线段CY和正交视图中的点Y,构造【轨迹】。隐藏点Y、Z和线段CY。
2.制作圆锥体侧面上的轨迹
(1)在正交视图中圆 center″上构造 3点 A、D、E,以及弧AE和弧上点B;构造弧AB及弧上的点G。在三维坐标系中,连接线段 CA、CD、CE、CG,运用【3d基本工具】|【线段上的定点】,构造线段CE、CD上的点F、H。
(2)作【直线】FH,ED,交于点 I;作【直线】FA,EA,EG。连接点 I、A,交直线 EG 于点 J;连接 FJ,交线段CG于点K。选中点K和正交视图中的点G,构造【轨迹】。隐藏线段CD、所有直线及直线的交点。
(3)在正交视图中,构造弧AG,并且其上的点L;连接三维视图中的线段CL,选中CL和正交视图中的点L,构造【轨迹】。将正交视图中的点G、L与点B重合,分别【右键】|【属性】,取消【可以被选中】和【显示标签】。
(4)在正交视图中构造【移动按钮B→E】和【移动按钮B→A】,命为“圆锥侧面展开”和“圆锥侧面恢复”。
3.计算圆锥的侧面展开图圆心角
在正交视图中【度量】弧AE和【度量】弧AB。运用【3d基本工具】|【获取点的坐标】得到点E、C两点的空间坐标;通过空间两点间距离公式,【计算】|母线EC|。利用圆锥的侧面展开图的圆心角公式:锥的侧面展开图。【计算】|CF|,【计算】利用【缩放】|缩放比例,构造点 F,【度量】|AF|。隐藏×1弧度,【计算】圆锥侧面展开的圆心角度数和圆锥侧面展开到母线CE处的圆心角度数。
4.制作圆锥侧面展开图
(1)在界面的空白处构造一点C,【平移(|EC|/-90°)】得到点A;将线段AC以C为圆心,【旋转(侧面展开图的圆心角)】得到点B,【旋转(母线处的圆心角度数)】到点E,【构造(扇形CAB)】,扇形CAB即是圆圆锥侧面展开图。
(2)按照在空白处构造圆锥侧面展开图的方法,在圆锥上以线段CA为起点,做圆锥的侧面展开。
5.蚂蚁爬行路线
(1) 在三维坐标系中计算|AE|、|EF|。路线 1:|AF|,路线 2:|AE|+|EF|,并用不同的颜色标注出。
6.制作按钮,美化界面
制作路线 1、2的【显示/隐藏】按钮,命为路线 1、2,两条路线、长度和按钮路线1、2的总的【显示/隐藏】按钮,命为蚂蚁爬行路线。把不必要出现的地方隐藏。
最后的效果如图2:
图2
三、课件操作
在操作课件时,通过按钮路线1、2直观地展示两条路线。移动线段CE上的点F来变化路线1、2的长度,其中点P是分界点,点F在线段CP上时,路线1最短,点F在线段PE上时,路线2最短。教师可以操控圆锥侧面展开/恢复按钮来展示侧面展开的过程,还可以手动拖动正交视图上的点B,动态展示圆锥的侧面展开过程,圆锥底面圆展开的弧长等于扇形的周长等。此外,通过操控扇形滑竿,可以从不同角度来观看圆锥的侧面展开。这样操作,突出教学重点和突破难点,有助于学生空间想象力的培养。
四、课件特点
本制作方法异于二维制作的方法之处:
(1)立体效果好,圆锥体形象直观。这是利用3D几何画板制作的最大优势,将圆锥侧面以及侧面展开部分填色,使得圆锥更立体逼真。
(2)构造爬行轨迹。通过Desargues定理,构造过圆锥的平面,进而构造圆锥体表面上的轨迹,这是以往课件所没有的。
(3)制作思想简单,凸显数学本质。纵观蚂蚁爬行最短路线的课件,基本思想都是要借助构造图形来解决问题,而利用3D几何画板可以将这些步骤省略。
[1]李燕清,任莎莎,唐剑岚.圆锥侧面展开图课件的改进及应用[J].中小学电教,2009,(5).
[2]范冬生,傅恬.立体几何图形展开问题的课件及其制作[J].中学教学参考,2010,(20).
[3]马玉峰.Desargues定理及其逆定理的应用推广[J].甘肃联合大学学报(自然科学版),2011,(2).