最大项与最小项的性质分析与研究

孙振川

（枣庄学院 机电工程学院，山东 枣庄 277160）

最大项与最小项的性质分析与研究

孙振川

（枣庄学院 机电工程学院，山东 枣庄 277160）

为了设计实际的数字电路，在分析了逻辑函数的两种标准形式-最小项之和和最大项之积的性质的基础上，运用反演定理和对偶定理对最大项和最小项的性质进行了分析和研究.通过理论推导可以看出，运用反演定理和对偶定理，可以从一种新的角度来理解最大项与最小项的性质，为更好地理解逻辑代数基础，更好地设计数字电路提供了新的思路.

最大项；最小项；反演定理；对偶定理

1 引言

数字电路的设计需要设计者具有良好的逻辑代数基础.只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑.当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行推理运算.1849年英国数学家乔治·布尔首先提出了进行逻辑运算的数学方法—布尔代数，被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计中[1].

在逻辑代数基础中，最大项和最小项是两个基本又重要的概念.最大项之和与最小项之积是逻辑函数的两种标准形式.反演定理和对偶定理作为逻辑代数的基本定理，在逻辑函数式的化简中发挥着重要的作用.本文用一种独特的角度，将反演定理与对偶定理两个逻辑代数的基本定理和最大项与最小项两个逻辑代数基础中的重要概念联系起来，运用两个基本定理来分析和研究两个重要概念.分析过程表明，运用反演定理和对偶定理，能够从一种新的角度，更加深刻地理解最大项与最小项的性质，为更好地理解逻辑代数基础，更好地设计数字电路提供了理论基础.

2 反演定理和对偶定理

对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，0换成 1,1换成 0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y'.这个规律称为反演定理.

在使用反演定理时，需要注意以下两个规则：

①仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序.

②不属于单个变量上的反号应保留不变.

反演定理的一个重要应用就是对一个相对复杂的逻辑式求反.举例如下：

若Y=（（AB'+C）'+D）'+C，根据反演定理，可直接得出Y'=（（（A'+B）C'）'D'）'C'.

若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这个规律称为对偶定理.

对偶式按照如下规则定义：对于任何一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，0换成 1,1换成0，则得到一个新的逻辑式YD，这个YD就称为Y的对偶式.

对偶定理的一个重要应用就是通过证明两个逻辑式的对偶式相等来证明两个逻辑式相等.举例如下：

若证明A+BC=（A+B）（A+C），因为A+BC的对偶式是A（B+C），（A+B）（A+C）的对偶式是 AB+AC，因为 A（B+C）=AB+AC，所以 A+BC=（A+B）（A+C）.

3 最小项及其性质[2]

在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项.A、B、C三个变量的最小项有 A'B'C'、A'B'C、A'BC'、A'BC、AB'C'、AB'C、ABC'、ABC共 8个.n变量的最小项应有2n个.输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1.

最小项的性质如下：

（1）在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1.

（2）全体最小项之和为1.

（3）任意两个最小项的乘积为0.

（4）只有一个因子不同的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子.

4 最大项及其性质

在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项.A、B、C三个变量的最大项有（A'+B'+C'）、（A'+B'+C）、（A'+B+C'）、（A'+B+C）、（A+B'+C'）、（A+B'+C）、（A+B+C'）、（A+B+C）共 8个.n变量的最大项应有 2n个.输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0.

最大项的性质如下：

（1）在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0.

（2）全体最大项之积为0.

（3）任意两个最大项之和为1.

（4）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和.

华译《史记》可读性强，为了让读者以更简单的方式阅读文本，因此译者没有加入很多的脚注以及文后注释，而是直接以简单易懂的随文注释来帮助读者阅读。

5 反演定理与对偶定理在最大项和最小项的性质中的分析[3,4]

在三变量 A、B、C的最小项中，当A=1、B=0、C=1时，AB'C=1.在三变量 A、B、C的最大项中，当 A=1、B=0、C=1时，（A'+B+C'）=0.根据反演定理，令Y=AB'C=1，可以直接得出Y'=（A'+B+C'）=0，由此得出结论：对于三变量A、B、C的同一组取值，其最大项和最小项是互为相反的变量.

根据此结论，由最小项的性质（1）可以直接得出最大项的性质（1）

因为在n个变量求和时，只要有一个变量为1，则和一定为1，在n个变量求积时，只要有一个变量为0，则积一定为0，因此由最小项的性质（1）可以推出最小项的性质（2），即

A'B'C'+A'B'C+A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC=1

由最大项的性质（1）可以推出最大项的性质（2），即

（A'+B'+C'）（A'+B'+C）（A'+B+C'）（A'+B+C）（A+B'+C'）（A+B'+C）（A+B+C'）（A+B+C）=0

下面的分析说明，用反演定理和对偶定理都可以由最小项的性质（2）得到最大项的性质（2）.

根据反演定理，Y=A'B'C'+A'B'C+A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC，Y'=（A+B+C）（A+B+C'）（A+B'+C）（A+B'+C'）（A'+B+C）（A'+B+C'）（A'+B'+C）（A'+B'+C'），又因为 Y=1，得 Y'=0.

根据对偶定理，Y=A'B'C'+A'B'C+A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC，YD=（A'+B'+C'）（A'+B'+C）（A'+B+C'）（A'+B+C）（A+B'+C'）（A+B'+C）（A+B+C'）（A+B+C），又因为 Y=1，得YD=1D=0.

由上述推导过程可以看出，YD、Y'都可以表示三个变量A、B、C的最大项之积的形式，且YD=Y'=0.

下面的分析说明，用反演定理和对偶定理都可以由最小项的性质（3）得到最大项的性质（3）.

任取三变量 A、B、C的两个最小项 A'B'C'、A'B'C，令Y1=A'B'C'、Y2=A'B'C显然 Y1Y2=（A'B'C'）（A'B'C）=0.

根据反演定理，（Y1Y2）'=（A+B+C）+（A+B+C'）=0'=1，由此得出结论，对于任取的三变量A、B、C的两个最小项A'B'C'、A'B'C，由它们的积为0，可以得出三变量A、B、C的两个最大项（A+B+C）、（A+B+C'）之和为 1.

根据对偶定理，（Y1Y2）D=（A'+B'+C'）+（A'+B'+C）=0D=1，由此得出结论，对于任取的三变量A、B、C的两个最小项A'B'C'、A'B'C，由它们的积为0，可以得出三变量A、B、C的两个最大项（A'+B'+C'）、（A'+B'+C）之和为 1.

下面的分析说明，用反演定理和对偶定理都可以由最小项的性质（4）得到最大项的性质（4）.

取三变量A、B、C的两个最小项A'B'C'、A'B'C，显然，A'B'C'和A'B'C只有一个因子不同，A'B'C'+A'B'C=A'B'（C+C'）=A'B'.

根据反演定理，（A'B'C'+A'B'C）'=（A+B+C）（A+B+C'）=（A'B'）'=A+B，

即（A+B+C）（A+B+C'）=A+B，最大项的性质（4）得证.

根据对偶定理，（A'B'C'+A'B'C）D=（A'+B'+C'）（A'+B'+C）=（A'B'）D=A'+B'

即（A'+B'+C'）（A'+B'+C）=A'+B'，最大项的性质（4）得证.

6 结论

本文在介绍了反演定理、对偶定理、最大项和最小项的性质的基础上，运用反演定理和对偶定理对最大项和最小项的性质进行了推导.推导过程说明，运用反演定理和对偶定理，都能够从最小项的性质出发得到最大项的性质，其性质中用到的最大项不同，但不改变性质的正确性.反演定理和对偶定理的应用为深入理解最大项和最小项的性质提供了新的视角和新的思路.

〔1〕阎石.数字电子技术基础[M].北京：高等教育出版社，2005.27-28,35-37.

〔2〕康华光.电子技术基础（数字部分）[M].北京:高等教育出版社,1988.11-26.

〔3〕毛法尧 1.数字逻辑（第 2版）[M].武汉:华中理工大学出版社,1992.21-32.

〔4〕方天申.逻辑函数及最小项与最大项运算规则研究[J].信阳师范学院学报（自然科学版），2001，（2）：170-171.

TN701

A

1673-260X（2011）12-0183-02