开映射的性质*

霍承刚

（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州 234000）

定义1［1］设X和Y是两个拓扑空间，映射f:X→Y称为一个开映射，如果对于X中的任何一个开集U，像集f（U）是Y中的一个开集.

定义2［2］设X和Y都是拓扑空间，f:X→Y.如果Y中每一个开集U的原像f－1（U）是X中一个开集，则称f是从X到Y的一个连续映射，或简称f连续.

例［5］设X=X1×X2×… ×Xn是n≥1个拓扑空间X1，X2，…，Xn的积空间，则对于每一个i=1，2，…，n，笛卡尔积X到它的第i个坐标集Xi的投射Pi:X→Xi是一个满的连续开映射，且X的拓扑为相对于满射f而言的拓扑.

定理1 1）从离散空间到离散空间的任何映射都是开映射;2）从平庸空间到离散空间的任何映射都是开映射.

证明 1）设f:X→Y为离散空间X到离散空间Y的映射，对X中任一开集U，因为Y是离散空间，所以f（U）是Y中的一个开集，即f是一个开映射.

2）设f:X→Y为平庸空间X到离散空间Y的映射，因为f（Ø）=Ø，f（X）⊂Y，而Y为离散空间，所以f（Ø）和f（X）为Y中的开集，即f是一个开映射.

定义3［2］设X和Y都是拓扑空间.如果f:X→Y是一个一一映射，并且f和f－1都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚.

定理2 设X和Y是两个拓扑空间，映射f:X→Y为同胚，则映射f:X→Y为一个开映射.

证明 设U是X的任意开集，由于映射f:X→Y为同胚，则f－1:Y→X也是同胚，因而f－1:Y→X是连续映射.对X的任意开集U，有（f－1）－1（U））=f（U）为Y中的开集，从而f:X→Y为一个开映射.

定理3 设X和Y是两个拓扑空间，映射f:X→Y为一一映射，若f为连续的开映射，则f:X→Y为同胚.

证明 欲证明f:X→Y为同胚，由已知条件，只需证明f－1:Y→X连续即可.对X中的任意开集U有（f－1）－1（U））=f（U）.由于f为开映射，故f（U）为Y中的开集，从而说明f－1:Y→X连续.

这样由定理2和定理3即有如下的结论:X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y为同胚的充要条件是f为一一的连续开映射.

下面给出开映射的一个重要性质.

定理4 设X，Y和Z是拓扑空间，映射f:X→Y和g:Y→Z都为开映射，则g◦f:X→Z也为开映射.

证明 设W为Z中的任意开集，由f:X→Y为开映射有f（U）为Y中的开集，再由g:Y→Z为开映射得g（f（u））为Z中的开集.而g◦f（u）=g（f（U）），所以g◦f（u）为Z中的开集，这就证明了g◦f:X→Z为开映射.

定义4［2］一个拓扑空间如果有一个可数基（在它的每一点处有一个可数邻域基），则称这个拓扑空间是满足第二可数性公理的空间（满足第一可数性公理的空间）.

引理1［1］设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个满的连续开映射，如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Y也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）.

定理5 设X=X1×X2×…×Xn是n≥1个拓扑空间X1，X2，…，Xn的积空间，如果X满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则Xi（i=1，2，…，n）也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）.

证明 考虑积空间X到第i个坐标空间的自然投射Pi:X→Xi（i=1，2，…，n），由于Pi:X→Xi是一个满的连续开映射（其中i=1，2，…，n），再结合引理1，定理结论成立.

定义5［3］设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射.Y的拓扑T1={U⊂Y|f－1（U）∈T}，称为Y的相对于满射f而言的商拓扑.

引理2［4］设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个满的连续开映射，则Y的拓扑是相对于满射f而言的商拓扑.

定理6 设X=X1×X2×…×Xn是n≥1个拓扑空间X1，X2，…，Xn的积空间，Pi:X→Xi为X到它的第i个坐标空间Xi的自然投射，则Xi的拓扑是相对于满射Pi而言的商拓扑，其中i=1，2，…，n.

证明 由引理2定理结论自然成立.

［1］熊金城.点集拓扑讲义［M］.北京:高等教育出版社，1998

［2］ARMSTRONG M A.基础拓扑学［M］.孙以丰，译.北京:北京大学出版社，1983

［3］李元熹，张国梁.拓扑学［M］.上海:上海科学技术出版社，1986

［4］杨鼎文.代数拓扑基础［M］.北京:科学出版社，1992

［5］霍承刚.对一类拓扑空间的研究［J］.西部论坛，2010，20（增1）:157