三角域上三次DP曲面的扩展

吴晓勤1，唐运梅1，韩旭里2



三角域上三次DP曲面的扩展

吴晓勤，唐运梅，韩旭里

（1. 湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411201; 2. 中南大学数学科学与计算技术学院，湖南长沙410083）

给出了三角域上带双参数的四次DP混合函数，它是三角域上三次DP 基函数的扩展。分析了该组混合函数的性质并定义了三角域上带双形状参数的四次DP参数曲面。该组混合函数及其参数曲面分别具有与三次DP基函数及三次DP参数曲面类似的性质。当两参数为0时，可分别退化到三次DP基函数及三次DP参数曲面。研究表明，通过改变两个形状参数的取值，既可整体又可局部调整曲面的形状。

计算机应用；曲面设计；DP曲面；三角域；形状参数

随着几何造型工业的发展，往往要求调整曲面的形状或改变曲面的位置。一种方法是引进权因子，此为有理形式的曲线曲面，但有理曲线曲面也有一定的缺陷：如何选取权因子以及权因子对曲面的形状影响还不是十分清楚，而且存在求导和求积运算较麻烦等问题。另一种方法是引进形状参数，典型的有：Barskey的－样条曲线，通过放松连续性条件，在基函数中引进了两个参数以调整曲线的形状；Zhang 提出三次C-曲线，Chen 等推广到一般的C-Bézier 曲线，吕勇刚等在均匀节点上构造C-B 样条曲线，Wang 等在一般的非均匀节点C-B 样条曲线构造方法，其后统一为-B样条；Han在三角多项式空间给出了带形状参数的二次和三次三角多项式样条曲线等。

带有形状参数的曲线，运用张量积方法很自然推广到矩形域的曲面上；但在三角形域上如何构造带有形状参数的曲面片，研究的文献不多。2006年曹娟等给出了带一个形状参数的三角域上三次Bernstein-Bézier参数曲面的扩展；作者给出的带一个形状参数的+1次Bézier三角曲面片；邬弘毅等给出的带多个形状参数的Bézier曲线与曲面的构造方法，由于该方法中的参数较多，从而大大增加了构造曲线与曲面的复杂性。其后，于立萍给出了三角域上带两个形状参数的Bézier 曲面的扩展方法，曹莞蔷等在三角多项式空间给出了三角域上拟Bézier基，得到了相应三角域上曲面片。上述曲面片利用形状参数的不同取值实现对曲面形状调控。

本文针对三角域上三次DP曲面进行扩展研究。通过提高多项式的次数，得到了三角域上10个带有两个参数的混合函数，分析了该组混合函数的性质，基于该组混合函数定义了带有形状参数的四次DP曲面，该曲面具有与三次DP曲面类似的性质：如角点插值、对称性、凸包性、几何不变和仿射不变性等。当两参数为0时，曲面可退化为三次DP参数曲面。研究表明，通过改变两个形状参数的取值，既可整体又可局部调整曲面的形状。

图1 三角域上三次曲面片（左为三次Bézier曲面片，右为三次DP曲面片）

1 三角域上三次DP曲面片

为三角域上三次DP基。

由定义1，给出DP曲面定义。

称式（2）所定义的曲面为三角域上三次DP曲面片。

图1为在相同控制网格点的三角域上三次Bézier曲面片和三次DP曲面片。

三次DP曲面片具有与三次Bézier曲面片同样的性质，如：① 角点插值；② 对称性；③ 凸包性；④ 几何不变性和仿射不变性等。

2 三次DP曲面片的扩展

2.1 混合函数及其性质

式(3)混合函数具有如下性质：

由式(2)不难验证。

（3）对称性，即

（4）角点性质，即

（5）线性无关性

因此，所给的混合函数是三次三角域上DP基函数的拓展。

2.2 曲面的结构及其性质

称式（4）所定义的曲面为带有形状参数的四次DP三角曲面片。

由混合函数的性质，可知式（4）定义的曲面片具有与三次DP曲面片相同的性质：① 角点插值性质； ② 对称性；③ 凸包性；④ 几何不变性和仿射不变性；此外，还有性质⑤ 局部可调性，即改变参数、的值可局部调控曲面的形状；⑥ 退化性，即当时，式(4)定义的曲面就是式(2)定义的曲面。

3 参数的几何意义

（5）

（6）

=1,=-1=1,=0

=0,=1=-1,=1

l1=0,l2=-1              l1=-1,l2=0

4　结 论

本文提出的三角域上带两个形状参数的四次DP曲面是三次DP曲面的拓展，曲面具有三次DP曲面的特性：如角点插值、对称性、凸包性、几何不变和仿射不变性等；两个参数具有明显的几何意义，既能整体又可局部的调控曲面的形状。因此，可作为一种有效的几何造型方法应用于曲面设计领域。实例表明引入两个形状参数是件有意义的工作。

=-1=-0.5

=0.5=1

图3 单参数值的四次DP曲面片

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Extension of Cubic DP Surfaces over Triangular Domain

WU Xiao-qin, TANG Yun-mei, HAN Xu-li

( 1. School of Mathematics and Computation Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan Hunan 411201, China;2. School of Mathematical Science and Computing Technology, Central South University, Changsha Hunan 410083, China )

A Class of quartic DP blending functions with two shape parametersis presented, which is an extension of the cubic DP basis functions defined over the triangular domain; Properties of this new blending function are analyzed and the quartic DP parametric surface with two shape parameters over the triangular domain is defined. The surfaces' properties are similar with the cubic DP parametric surfaces. In particular, when the two shape parameters vanish, they degenerate to the cubic DP basis functions and the cubic DP parametric surfaces individually; by changing the two shape parameters, the shape of surface can be adjusted both wholly and locally in invariable control net.

computer application; surface design; DP surface; triangular domain; shape parameter

TP 391.72

A

1003-0158(2011)03-0035-06

2009-10-13

国家自然科学基金资助项目（10871208）；湖南省教育厅科研资助项目（08B027）；湖南科技大学科研启动金

吴晓勤（1968-），男，湖南怀化人，副教授，博士，主要研究方向为计算机辅助几何设计，计算机图形学等。