模态级数理论的研究现状与展望

范强，贾彩勤，高璐，元宵，藏亚平

(1.贵州大学电气工程学院，贵州 贵阳 550003;2.内蒙古东部电力有限公司，辽宁 沈阳 110180;3.河北省电力公司，河北 邯郸 056000;4.贵州电网公司麻江供电局，贵州 麻江 557600)

1 引言

随着互联电力系统规模日益增大，其运行越来越接近其传输极限水平，使得现今的电力系统成为了一个复杂的强非线性系统，在文献［1，2］中被称为重载电力系统(Stressed Power System)，其最大的特点在于系统内存在很强的非线性相互作用，即使在小扰动下，系统也会表现出强非线性特性，振荡模式的非线性相互作用成为影响系统动态特性和稳定性的重要因素［3，4］。对于这种重载电力系统，仅仅依靠传统的电力系统稳定性分析的理论和方法来研究，将存在很大的局限性。

因此，欲对电力系统动态行为进行准确分析，就要借助非线性动态理论中的数学方法来进行研究。模态级数是一个全新的概念，由N.Pariz于2001年在其博士论文中首次提出并应用于电力系统动态行为分析。文献［1，2］给出了模态级数的基本算法及用于电力系统分析的一般方法，并将其与线性方法、正规形方法进行电力系统动态仿真的准确性进行了比较，证明了模态级数法可以更准确地表示的非线性特性。这种方法的特点就是推导容易、计算简单、求解高阶解析解时不用求解高维非线性方程。通过研究模式和状态变量间的非线性相互作用关系，可以像在小干扰稳定分析中寻找不稳定根源一样，求得对系统动态特性影响较大的状态变量［1－2，5］。

2 常用的动态特性分析方法

电力系统是一个复杂的非线性系统，在干扰的情况下会呈现出复杂的动态特性。电力系统动态特性常用的分析方法为时域仿真法、线性模态分析法和向量正规形法。

时域仿真法以计算机数值仿真为基础，模拟系统在一定扰动下的运行变化情况，能计及系统非线性因素的影响，但难以直接解释系统复杂动态特性的实质。线性模态分析利用系统的一阶线性近似来研究系统的稳定性，该方法局限于稳定工作点附近，在大干扰情况下有较大的误差［6］。

向量正规形法是基于泰勒级数展开，通过非线性向量场的正规形变换及反变换得到系统的2阶近似解析解。但为了获得正则形，需要进行一次非线性多项式变换，而且为了获得闭式近似解，在新坐标系下将忽略这些非线性项而得到一个线性系统。而模态级数(ModalSeries)法是结合和发展了线性系统理论的概念和向量场的正则形技术，它不需要使用非线性变换，因此比正则形方法更能准确地表示系统的非线性特性。

3 模态级数法［1，2］

3.1 模态级数法基础

一类非线性动力学系统，包括电力系统，可以用下列形式的微分方程表示:

其中，X为N维状态向量，F:RN→RN是一个光滑向量场，N为式(1)的总阶数。将式(1)在一个稳定平衡点XSEP处用泰勒级数展开，再次使用X和xi作为新的状态向量和新的状态变量，产生下列表达式:

设系统有N个不同的特征值 λi，j=1，2，…，N，分别用U与V表示矩阵A的右和左特征向量。用变换X=UY得到式(2)的等值微分方程组如下:

3.2 系统状态方程的二阶解

用模式级数表示非线性系统可得到式(1)的解，忽略三阶及更高阶项，系统模式的二阶近似解为

用模态级数表示非线性系统可以得到如下的解，忽略三次及更高次的项，二次近似响应为:

式中，R'2表示导致二次准谐振的所有三元组(k，l，j);Y0=［y10，y20，…，yN0］T∈ϑ 为Y的初始状态。

当观测到的行为用二次模态近似不能够解释时，还可以使用更高次的模态近似解。

3.3 非线性交互作用

设λ1，λ2，…，λN为非线性动态系统的线性模式，由于系统动态中的非线性，这些线性模式相互作用产生许多交互作用模式，形如m1λ1+m2λ2+… +mNλN，其中，mi∈I，i=1，2，…，N。对零输入响应，这些模式激励的程度取决于非线性和系统的初始状态［1，4］。

3.4 二阶非线性相关因子

为了对模式的性质有深入理解，需要确定各个模式与各个系统状态变量的相关程度。因此通常用相关因子来评价模式与状态变量之间的相关程度。

将求解线性相关因子的作法扩展到非线性系统中，推导出三类非线性相关因子［7］如下:

(1)单个模式非线性相关因子P2ij

它代表了第j个模式与第i个状态变量的二阶非线性相关作用。第一项为线性相关因子，第二项为扩展到二阶非线性后，对线性相关作用的非线性校正程度。

(2)复合模式非线性相关因子P2ikl

它代表了第k个模式与第l个模式所组成的复合模式对(k，l)与第i个状态变量的非线性相关程度。这是在线性分析中无法考察的非线性相关作用。

4 模态级数法的研究现状

由于模态级数法存在高阶非线性解，因此特别适用于对互联电网的研究，其主要用途有:在线稳定性分析、分析系统的振荡模式及其交互作用、设计控制器等方面。从现有的资料看，将模态级数理论应用到电力系统时所能分析的问题主要集中在以下几个方面:

4.1 交直流系统的非线性模态作用分析

在模态级数法首次的提出是用在交流系统中，文献［4］将模态级数法应用到交直流系统中，并利用其来研究系统遭受扰动后的动态行为，分析系统的稳定性、振荡模态以及非线性模态交互作用以及HVDC的加入对电力系统振荡模态的影响。文献［7，8］研究找出对系统非线性影响较大的关键控制器，并结合模态级数法选择附加控制的参数。

4.2 电力系统区域间振荡分析及振荡模式间的非线性相互作用分析

文献［9，10］表明大干扰下，线性化方法已经不能满足系统的要求，不同模式对系统非线性动态特性的影响是不同的，准确无误地找出大干扰下系统的主导低频振荡模式，确定影响系统动态特性和稳定性的主导低频振荡模式，指出与不稳定相关的非线性振荡的振荡源。从识别主导低频振荡模式和三阶谐振模式出发，通过分析模态的非线性相关性以及模式和状态变量之间的非线性相关作用，寻找由谐振所强烈激励的状态变量和相关发电机的理论和方法。

4.3 次同步振荡问题

文献［11］表明非线性模态互作用存在于扭矩中的分析结果。还可看到，控制模态与扭振模态及电气次同步模态之间存在互作用，并且对暂态扭矩起重要作用。所以在暂态过程中，电气系统与机械系统通过电气次同步模态和扭振模态紧密耦合。这些结果对于系统运行分析和控制都是非常重要的。

4.4 三阶解及更高阶解的研究

文献［12］推导出的模态级数的三阶解析解，由于三阶解析解包含了三阶模态相互作用，可解释二阶解析解所不能解释的由系统非线性引起的电力系统复杂的动态特性和稳定性。文献［13］由模态级数法得到的动态电力系统三阶解析解中的二阶项和三阶项可以从数学角度解释电力系统大干扰下出现增幅振荡的原因，其中，三阶项是产生增幅振荡的主要原因，这是在二阶解中无法观测到的。

5 结论与展望

(1)模态级数法是描述电力系统在平衡点附近非线性动态特性的有效的数学工具。既提供了系统的特征信息，又便于分析系统的非线性模态相互作用，为大规模电力系统的稳定性分析和控制系统的设计提供了新的思路。

(2)模态级数法通过二阶解析解与相关因子，把大干扰强非线性系统的动态特性研究与系统内部的结构特性联系在一起，从另一侧面为分析强非线性下系统的稳定性以及动态特性，提供了一个新的有效途径。

(3)模态级数法在电力系统中的应用取得了一些成绩，但作为一个新的研究领域，还有许多不成熟和待开发的方面，如:对系统行为的分析、控制以及各种新型电力电子设备对系统动态行为的影响等分析的研究还没有深入进行。最后，如何将其用于复杂电力系统，而不仅限于简单电力系统，也是一个值得后续研究的问题。

［1］H.M.Shanechi，N.Pariz，and E.Vaahedi，General Nonlinear Modal Representation of Large Scale Power Systems［J］，IEEE Transactions on Power Systems，2008，18(3):1103 －1109.

［2］Naser Pariz，Hasan Modir Shanechi，Explaining and Validating Stressed Power Systems Behavior Using Modal Series［J］.IEEE Trans on Power Systems.2003，18(2):778 －785.

［3］李蓓.基于模态级数法的电力系统稳定性分析和控制研究［D］.成都:四川大学，2006.

［4］Liu Hongchao，Li Xingyuan，Zheng Yunhai，Wang Lu，Yan Quan.Stability analysis for HVDC/AC power systems based on modal series method［J］.Accepted by IEEE － PES/CSEE International Conf.on Power System Technology，October 2004，Singapore.

［5］邓集祥，许自然.应用模态级数方法分析电力系统模态谐振［J］.现代电力，2006，23(3):11 －15.

［6］吴复霞，吴浩，韩祯祥，等.电力系统非线性模式分析方法的比较［J］.中国电机工程学报，2007，27(34):19 －25.

［7］李蓓，胡忠.直流控制器对交/直流互联系统非线性动态特性的影响研究［C］//重庆市电机工程学会2008年学术会议论文.2008:982－989.

［8］郑云海，李兴源，刘红超.带功率调制的直流系统非线性模态分析［J］.2006，18(1):1 －4.

［9］许自然，李伟.应用模态级数法分析电力系统模式谐振［J］.2006年中国电力系统保护与控制学术研讨会.2006，604－608.

［10］李佳，刘金山，葛文红.模态级数法在主导低频振荡模式鉴别方面的应用［J］.吉林电力，2008，36(4):9 －12.

［11］陈武晖，毕天姝，杨奇逊，等.研究暂态扭矩的解析方法［J］.中国电机工程学报，2010，30(7):70 －76.

［12］邓集祥，陈武晖，涂进，等.电力系统3阶解析解的推导及验证［J］.中国电机工程学报，2007，27(28):12－18.

［13］邓集祥，陈武晖，贺建明.应用模态级数3阶解析解分析大扰动低频振荡机理［J］.电力系统自动化，2007，22(25):27 －30.