APP下载

基于Matlab的Hertz接触参数和主曲率差函数关系的拟合

2011-07-25刘胜超王东峰喻炜

轴承 2011年10期
关键词:参数值工具箱曲线拟合

刘胜超,王东峰,喻炜

(1.洛阳轴研科技股份有限公司 精密轴承制造部,河南 洛阳 471039;2.北京市三一重机有限公司,北京 102206)

符号说明

a—— 接触椭圆的长半轴

b—— 接触椭圆的短半轴

Dpw—— 球组节圆直径,mm

Dw—— 球径,mm

fi—— 内沟曲率系数

fe—— 外沟曲率系数

F(ρ)——主曲率差函数

Fa—— 轴向载荷,N

k—— 接触椭圆的椭圆率

K(e)——第一类椭圆积分

L(e)——第二类椭圆积分

Z—— 球数

ρ1Ⅰ——球在轴向平面的主曲率

ρ1Ⅱ——球在径向平面的主曲率

ρ2Ⅰ——套圈在轴向平面的主曲率

ρ2Ⅱ——套圈在径向平面的主曲率

α——初始接触角,(°)

φ——椭圆积分变量

γ——无量纲参数,γ=(Dw/Dpw)cosα

Hertz接触参数求解过程中,K(e),L(e)和k是由循环迭代的方法求得的,迭代次数非常多,每次迭代都需要求解K(e)和L(e),计算量大。这里利用Matlab曲线拟合工具箱,对K(e),L(e),k分别与F(ρ)进行拟合,得到它们和主曲率差函数F(ρ)的表达式,用拟合的结果求解给定型号轴承的其他Hertz接触参数,并与Hertz接触理论值以及最小二乘法线性回归法(回归法)得到的简化式[1]求得的结果进行对比。

1 Hertz接触参数

下面主要介绍与椭圆积分以及椭圆率计算相关的一些Hertz参数,其他参数不再赘述,可见文献[2-3]。

1.1 接触点的主曲率

在接触点,球与沟道表面的主曲率描述了球和沟道表面在接触点的几何特征,其影响到接触应力与变形及轴承动态性能[4]。球和沟道表面的主曲率计算方法见表1。

表1 球轴承接触点主曲率计算公式

主曲率差及主曲率和分别为

(1)

∑ρ=ρ1Ⅰ+ρ1Ⅱ+ρ2Ⅰ+ρ2Ⅱ。

(2)

1.2 椭圆积分

第一类完全椭圆积分为

(3)

第二类完全椭圆积分为

(4)

椭圆率为

k=b/a。

(5)

F(ρ)可以由K(e),L(e)和k表示为[5]

(6)

2 拟合法及回归法

Matlab中提供的曲线拟合工具箱(Curve Fit Toolbox)可以对工作空间中的2组参数的数据点进行拟合,根据不同的拟合规则得到2个参数的表达式。这里利用Matlab曲线拟合工具箱,对K(e),L(e)和k分别与主曲率差函数F(ρ)进行拟合,得到它们和主曲率差函数F(ρ)的表达式。

2.1 L(e)与F(ρ)的拟合

L(e)和F(ρ)的拟合曲线如图1所示。L(e)和F(ρ)的数据能用四次多项式很好地拟合出来,即

图1 L(e)和F(ρ)的拟合曲线

L(e)=0.131 8F4(ρ)-0.449 4F3(ρ)+0.783 4F2(ρ)-1.036F(ρ)+1.57,

(7)

L(e)随F(ρ)的增加而减小。

2.2 K(e),k与F(ρ)的拟合

由于K(e)和k用多项式进行拟合时的误差较大,采用三次样条插值拟合法分别对它们与F(ρ)进行拟合,拟合的曲线如图2、图3所示。K(e)随F(ρ)的增大而增大,且在F(ρ)趋近于1时趋于∞;k随F(ρ)的增大而减小,二者几乎呈线性关系。

图2 K(e)和F(ρ)的拟合曲线

图3 k和F(ρ)的拟合曲线

由于K(e),k与F(ρ)拟合的结果无法用简单的解析式表示出来, 因此将拟合结果保存至Matlab主工作区中KeFitted和kFitted两个mat文件,求解时,在主程序中调用这2个函数来计算K(e)和k。

2.3 回归法

由文献[1]知,由回归法求得的k,L(e)和K(e)的简化关系式为

(8)

(9)

(10)

3 实例分析结果

表2 球轴承参数

表3和表4分别给出了由拟合法和回归法得到的7208C/P4和B7019C/P4轴承的接触参数值,并比较了其与Hertz接触理论值的相对误差。结果显示,拟合法与Hertz接触理论值之间的误差更小,最大不超过0.6%;而回归法的最大误差将近1.8%。所以,拟合法不仅可行,而且更为准确。

表3 7208C/P4不同方法求得的接触参数值及相对误差

表4 B7019C/P4不同方法求得的接触参数值及相对误差

4 结束语

借助Matlab拟合出了椭圆积分、椭圆率与主曲率差函数的关系,用该拟合方法求解Hertz接触参数避免了大量的循环迭代过程,节省了计算时间,同时由该方法计算得到的参数值比回归法得到的参数值更为精确。

猜你喜欢

参数值工具箱曲线拟合
例谈不等式解法常见的逆用
不等式(组)参数取值范围典例解析
不同阶曲线拟合扰动场对下平流层重力波气候特征影响研究*
基于MATLAB 和1stOpt 的非线性曲线拟合比较
浅谈Lingo 软件求解非线性曲线拟合
2020 Roadmap on gas-involved photo- and electro- catalysis
会“叫”的工具箱和工具
逆向思维求三角函数中的参数值
曲线拟合的方法
基于MATLAB优化工具箱优化西洋参总皂苷提取工艺