卡尔曼滤波在坝体变形监测中的应用①

陈 帅，赵 丽，李 超，丁胡进

（安徽理工大学 测绘学院，安徽 淮南232001）

0 引言

卡尔曼滤波是由卡尔曼（Rudolf Emil Kalman）在1960年提出的一种新的线性滤波模型。它具有最小无偏方差，是目前应用最为广泛的一种动态数据处理方法。卡尔曼滤波算法是通过采用递推的方式，即用t－1时刻估值，结合t时刻的观测值，通过递推方程得到t时刻的状态估值，概括地说就是利用新一期的观测值，不断地进行预测和修正即可估算出系统新的状态值［1]。具体过程是通过建立状态方程和观测方程来反映系统的动态过程，根据滤波增益矩阵的变化，再从观测数据中定量识别以及提取有效的信息，修正状态参量，不需要存储所有时刻的观测数据，方便实施数据处理，适用于GPS监测网的观测数据［2]。本文通过对卡尔曼滤波算法的基本原理的介绍，结合某大坝的实测数据，探讨了卡尔曼滤波在GPS变形监测数据处理中的应用问题。

1 数学模型的建立

卡尔曼滤波算法借助系统建模的状态矩阵和观测数据，利用观测数据来估计随时间不断变化的状态向量，实时、最优地估计系统的状态量，并对未来时刻的系统状态量进行预报［3]。利用卡尔曼滤波进行状态估计，首先要建立系统的状态方程和观测方程。

假设现有n个监测点组成一GPS变形监测网，m为基线向量数。以GPS点的三维位置和三维速率（WGS－84空间直角坐标系下）为状态向量，设ξi（t）为点i在t时刻的位置向量，λi（t）为瞬时速率，把瞬时加速率Wi（t）看作是一种随机噪声干扰，则有微分关系式

上式是一个常系数连续线性微分方程，式中，0和E分别表示三阶的零矩阵和单位矩阵。

将上式离散化后得到卡尔曼滤波的状态方程，写成纯量式为

其中，Δtk＝tk＋1－tk（tk＋1和tk分别为第k＋1期和第k期的观测时刻）。

根据（3）式，可得全网的状态方程为

式中：Xk为k时刻的系统状态向量；Zk为k时刻系统观测向量；Φk，k－1为k时刻到k－1时刻的系统状态转移矩阵；Γk，k－1为系统噪声矩阵；Hk为k时刻的系统观测矩阵；Wk－1为k－1时刻系统的状态噪声；Vk为k时刻的系统观测噪声。

卡尔曼滤波方程为［4]

式中：Qk－1为系统状态噪声Wk－1的方差阵；Rk为系统观测噪声Vk的方差阵；Kk为状态增益矩阵。

2 实例分析

现以某大坝的GPS监测数据为例进行分析。该监测网由两个基准点和12个监测点组成，共观测了6期，将经过最小二乘处理后的GPS数据再用卡尔曼滤波进行处理，利用前三期进行滤波处理，预测后两期。

初始值的选取：

式中：X0为初始状态矢量；R为观测噪声向量的方差矩阵；Q为动态噪声向量的方差矩阵。

表1 滤波值与实测值之差

表2 预测值与实测值之差

从表1可以看出，卡尔曼滤波值与实测值之差都不超过3mm，且多数不超过1mm.说明卡尔曼滤波能够较好地反映GPS变形监测的实际情况，比较真实地体现了变形体动态数据的实时性。结果表明：卡尔曼滤波对GPS变形监测具有良好的剔除噪声的作用，并能较准确地对未来时刻的状态进行预测。

3 结 论

1）将卡尔曼滤波应用于坝体的变形监测中，不仅可以剔除噪声，实时地获得监测系统的当前状态，还可以对未来时刻的状态进行预测，这也是变形监测数据分析的重要依据。

2）卡尔曼滤波方程是一组递推公式，不需要存储所有时刻的观测数据，方便大量实施数据处理，简便有效。

3）系统初始状态的选取对滤波结果有一定影响，选取不合适可能导致结果失真。

［1]邓自立.最优估计理论及其应用［M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005.

［2]华媛媛，胡润生，刘海青.卡尔曼滤波法用于变形监测数据处理［J].技术与创新管理，2008（11）：658－660.

［3]李长洪，范丽萍，张吉良，等.卡尔曼滤波在大型深凹露天矿边坡变形监测预测中的应用［J].北京科技大学学报，2010（1）：8－12.

［4]崔希璋，於宗俦，陶本藻.广义测量平差［M].北京：测绘出版社，1992：228－252.