万有引力中“随”、“绕”模型的区分

刘春红

（临清市第三中学 山东 临清 252600）

随着近几年我国航天技术飞速发展，运用万有引力定律求解天体运动问题，成了高考每年必考的重要内容.在解答这类考题时，学生往往出现思维混乱，不能选用正确的公式列式求解，导致耗时多、得分少.因此，在学习或复习这章知识时，教师选用准确的物理模型，帮助学生迅速找到破题方法是非常关键的.

近几年来不少地方高三的模拟试题中，有如下的一类题目.

【例1】如图1所示，a为放在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星.以下关于a，b，c的说法中正确的是

A.a，b，c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac

B.a，b，c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ac＞ab＞aa

C.a，b，c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc＞Tb

D.a，b，c做匀速圆周运动的线速度大小关系为va＝vb＞vc

图1

这类题目让学生很头疼，当然正确率也是很低的.究其原因，学生说：“b，c可以代公式进行比较，但a，c就不知用什么公式了.”笔者觉得主要是因为学生没从本质上区分开“随”、“绕”模型.现结合以上题目就两种模型的区分和应用总结如下.

1 两种模型的定义不同

一种是在天体表面和天体一起做圆周运动的物体简称“随”模型，如例1中的a；一种是围绕天体做圆周运动的物体简称“绕”模型，如例1中的b，c.而对于地球，根据卫星绕中心天体运动的轨道不同，又可分为近地卫星（如b）和高空卫星（如c）.

2 两种模型中向心力的来源不同

“随”模型中，物体所受的向心力是由万有引力与天体对物体的支持力的合力来提供.如例1中的物体a，其中重力（万有引力的一个分力）与物体所受的支持力相抵消，万有引力的另一个分力提供其做圆周运动的向心力，即万有引力与地面对物体的支持力的合力提供向心力.在赤道上

在两极处

随着纬度的不同，同一物体所受的向心力是不同的.这样就不能依据万有引力等于向心力的一系列方程或其结论解决“随”模型中的问题.

“绕”模型中，物体所受的向心力完全由万有引力来提供.如例1中的b，c，不管卫星绕地球旋转的半径多大，只要是卫星绕地球旋转，那么就是万有引力全部提供向心力，就可以列出万有引力等于向心力的一系列方程，即有

从而较好地解决问题.

3 两种模型中各物理量变化规律不同

“随”模型中，物体运动的角速度ω、周期T与天体自传的ω和T相同，而线速度v随物体在天体上位置的变化而变化.所以对于“随”天体转动的物体，其运动的角速度ω、周期T和线速度v，都没有固定的公式进行定性分析或定量的计算.

“绕”模型中，由于向心力全部由万有引力提供，则由

由此可见，物体运动的角速度ω、周期T、向心加速度a和线速度v都因运动的轨道半径的不同而不同.我们可以根据（1）、（2）、（3）、（4）式定性分析或定量的计算.如例1中知rc＞rb，由得，由Tc＞Tb.

虽然“随”、“绕”模型有本质的区别，但它们都可以近似地看成是匀速圆周运动，所以“随”、“绕”模型同时又都遵守匀速圆周运动的规律，即

如例1中，a属于“随”模型，c属于“绕”模型，但因c是地球的同步卫星.所以对a，c有

所以例1中选项A，B，D都错，选项C正确.

【例2】同步卫星离地距离r，运行速率v1，加速度a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2；第一宇速度为v2，地球半径为R，则

解析：同步卫星属于“绕”的模型，赤道上的物体属于“随”的模型，但同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，根据

第一宇宙速度是卫星贴近地面绕行的速度，同步卫星也属于一种卫星，两者同属于“绕”的模型，根据速率

本题应选选项A，D.

总之，“随”、“绕”模型有本质上的区别，即万有引力是否完全来提供向心力，但“随”、“绕”模型又都遵守匀速圆周运动的规律.只有将两者结合起来，才能顺利解决同题中既有“随”模型又有“绕”模型的题目.当然如果学生能准确的区分“随”、“绕”模型，那么学生在解答万有引力习题时，就能选择准确的物理模型，快速找到解题方法.