历法：一道难解的数学题

□ 李 鉴

人们常说，天文学是一门古老的学科，从人类有记载的第一幅图示开始，就开始了对宇宙的探索，天文学的诞生和发展，伴随了人类文明进步的整个进程。但是与简练的牛顿三定律、漂亮的化学方程式和完美的几何学公理相比，天文学留给我们的恐怕更多的是疑惑。没错，斗转星移、四季更迭这些天文现象我们早已耳熟能详，但这就是天文学吗？它到底在哪些方面影响着我们的生活，谁又能对此说出个子丑寅卯呢？

其实，从你早上被闹钟叫醒到下班、放学直至准点睡觉这一天的作息中，已经不自觉地享受到了天文学为你提供的服务，那就是“授时”。我们日常所使用的时间，就是根据天体的运行来定义并服务于生活的，可以说“授时”是天文学最早并且最大的成就。而如何合理地安排年、月、日、时，完全依赖于天文学家们给出的历法。

时间之秘

时间的单位起源于天文观测。太阳、月亮、星辰的自然运动为人类提供了三个计量时间的单位——年、月、日，这里的“年”指的是“回归年”（365.2422日，即地球连续两次经过近日点的时间间隔，也可粗略地认为是地球的公转周期），是季节变化的周期；“月”指的是“朔望月”（29.5306日），是月相盈亏的周期，即从满月到下一个满月所经历的天数；“日”指“太阳日”（严格说是平太阳日），是昼夜交替（地球自转）的周期，也就是一天的长度。三者之中，“日”是时间的基本单位，必须保证完整，不被分割。时、分、秒的长度都由“日”长确定。虽然现在的时间定义系统已经发生了变化（秒长已改为由原子时来定义），但时间的天文属性并没有改变，我们的手表时间仍然和地球的自转保持同步。

每当整点钟时，正在收听广播的收音机便会播出“嘟嘟”的响声。人们便以此校对自己的钟表的快慢。广播电台里的正确时间是哪里来的呢？它是由天文台精密的钟去控制的。那么天文台又是怎样知道这些精确的时间呢？我们知道，地球每天均匀转动一次，因此，天上的星星每天东升西落一次。如果把地球当作一个大钟，天空的星星就好比钟面上表示钟点的数字。星星的位置天文学家已经很好的测定过，也就是说这只天然钟面上的钟点数是很精确知道的。天文学家的望远镜就好比钟面上的指针。在我们日常用的钟上，是指针转而钟面不动，在这里看上去则是指针“不动”，“钟面”在转动。

当星星对准望远镜时，天文学家就知道正确的时间， 用这个时间去校正天文台的钟。 这样天文学家就可随时从天文台的钟面知道正确的时间．然后在每天一定时间，例如，整点时，通过电台广播出去，我们就可以去校对自己的钟表，或供其他工作的需要。

历法之秘

所谓历法，就是如何方便地协调三种时间单位的方法，即安排年、月、日的法则。这个问题看似简单，其实不然。我们知道，“日”是不可分割的，即一年需要包含整数日、整数月，一月也要包含整数日。但是前文提到的“回归年”、“朔望月”的长度却都不正好等于整数日，所以人们需要通过适当的数学处理来对年、月进行截断，安排哪天是新年的第一天，哪天又是每月的第一天。别看这只是小学水平的数学题，在过去甚至直至今日都着实没让天文学家们少费脑筋。

古人最早使用的历法，通常是以月亮圆缺周期为依据的太阴历（例如古罗马历），一年包含十个历月，月的日数分为30和31两种，其中第1、3、5、8月为31天，其余均为30天，全年共304天。还有60余天不计在历月之内，作为年末休息日。休息过后，以草木萌芽开始的祭神，算是第二年。显然这种历法很不精确，连一年到底有多少天都含混不清。后来罗马的第二个国王努马进行了历法改革，把一年的长度平均下来取为355天，包含12个月，每四年增加两个补充月。其实看上去这个立法已经很精确了，因为它的一年的平均长度为[4×355＋(22＋23)]／4＝366.25天，只比回归年（365.2422）多了一天左右。然而就是这一天的误差，在三十几年后就会导致季节提前一个月！

北京故宫的太和殿前的日晷。日晷是古代的计时工具，根据太阳的影子而判断当时的时间。这个日晷属于赤道式，晷针指向北天极，晷面平行于地球赤道。在晷面的正反两面刻划出12个大格，每个大格代表两个小时。当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面，太阳由东向西移动，投向晷面的晷针影子也慢慢地由西向东移动。于是，移动着的晷针影子好像是现代钟表的指针，晷面则是钟表的表面，以此来显示时刻。太和殿日晷与嘉量对称，位於丹墀上，为正午仪的一种，代表天子以正时治国之意

直到公元前19年，儒略·凯撒成为罗马的执政官，才发明了更加精确的儒略历：把平年的长度取为365天，每隔三年置一闰年，闰年为366日，这样平均一年的长度就是365.25日。每年分为12个月，单数月份为大月，每月31天；双数月份为小月，每月30天；2月份在平年29天，闰年30天。从儒略历实施开始，历法终于走上正轨。令人郁闷的是，那些颁发历书的祭司们，有本事从乌鸦的争斗预卜吉凶，却把改历命令中的“每隔三年设一闰年”误解为“每三年设一闰年”，导致历法精度大大降低。这个错误直到公元前9 年才由罗马皇帝奥古斯都下令改正过来。为了纪念他的这一功绩，罗马元老院通过决议，把儒略历的第八月改称为奥古斯都月（英文August的音译，因为他在这个月里曾取得过巨大的军事胜利）。但这个月是小月，罗马人以单数为吉，而30天却是个双数，于是就从2月份拿出一天，加到奥古斯都月里，8月就变成 31天了。这样原本很好记忆的、大小月交替的历法，变成了今天我们使用的不规律历法。

精于计算的读者会发现，儒略历也并不精确。它的一年的平均长度为365.25日，比真正的回归年长了0.0078日。果然，到了16世纪末的时候，春分日提前10天就来到了。于是，1582年3月1日罗马教皇格里髙历不得不颁发改历命令，规定春分日为3月21日，而且除了每四年置一闰月外，还规定“世纪年数”能被400整除的年才是闰年。如1700年尽管能被4整除，但不能被400整除，所以作为平年。这是格里历，即今日世界上广为通行的公历。

农历与“19年7闰”

我国古人发明的农历，属于阴阳合历，是一种兼顾朔望月和回归年两种周期的历法，精度非常高。农历把朔日（即新月那天）定为每月的初一，根据先后两次朔日之间所包含的日数确定每月的大小，大月30天，小月29天，这样一年就是354天。这不是比回归年短很多吗？没关系，每过几年，农历就会设置一个闰年，与公历闰年不同的是，农历的闰年不是仅比平年长一天，而是多了一个月！这个多出来的月称为闰月，这一年就称为农历的闰年。

怎么设置这个闰月？这里就显示出了我们祖先的伟大智慧。我们知道农历一年中有24个节气，其中12个是“节气”，还有12个是“中气”（两个节气之间）。这12个中气的平均间隔是12.3683个朔望月，因此，经过若干月后，就会有一个月没有中气，人们把这个月份定为闰月，并把闰月看成前一月的重复。例如2009年，在五月对应夏至的下一个月中，由于没有中气，就被设置为闰五月。于是，2009年就是农历的闰年，这一年中有一月、二月、五月、闰五月、七月、九月、十一月、十二月为大月，三月、四月、六月、八月、十月为小月，共有385天。

所谓24节气，是根据太阳在黄道（地球绕日公转的轨道，也就是太阳周年视运动的路线）上的位置及引起地面气候演变的次序，将全年划分为24个段落，每段相隔约半个月（15天），每一段叫做一个节气。24节气可能起源于我国战国时期的黄河流域，以后不断完善，到秦汉年间，二十四节气已完全确立。公元前104年，由邓平等制定的《太阳历》正式把二十四节气定为历法，明确了二十四节气的天文位置。

我们算一下就会发现，19个回归年的日数与235个朔望月日数极为接近。即：19回归年≈235个朔望月＝（19×12＋7）朔望月＝（12×12＋7×12＋7）朔望月＝12×12朔望月＋7×13朔望月＝12个平均小年＋7个平均大年＝19个农历平均年。因此，在19年中安插7个闰月，就可以使农历的平均年长接近回归年。这就是我国最早应用的“十九年七闰法”。在同时用公历和农历计算生日的时候，大约每隔19年，公历和农历的生日就会重合在同一天。例如，1960年10月1日（农历八月十一）出生，到1979年10月1日，农历正好是八月十一。只是由于闰月的设置，有时候每隔19年，公历和农历会相差一两天。因为农历是我国的传统历法，人们接受程度高，因此，我国很多传统节日多用农历计算，如春节（正月初一）、元宵节（正月十五）、端午节（五月初五）、中秋节（八月十五）等。

公历后话

公历虽然已被广为接受，但远不完美。仔细一算，我们会发现公历一年的长度平均是365.2425日，还是比回归年长了0.0003日。经过3300多年后，公历就会出现一日的误差。到了公元5000年左右，如果那时仍用现行公历的话，我们的后辈们将不得不考虑如何删除这多出来的一天。

为了消除这个微小的误差，许多追求完美的天文学家们可谓煞费苦心。据统计，他们林林总总共发表了147种新历设计方案，其中最受人们推崇的是“世界历”。它把一年分为四季，每季91日。每季的第一个月是大月（31日），其余两个月是小月（30日）。每季都含完整的13个星期，每次新年和每一个季度都从星期日开始，岁岁不变。四季总数是364日，剩余的1日不编入任何月份和星期，放在岁末作为年终假日；如逢闰年，则将第二个号外日安插在6月末，是谓闰年假日。这样一来，不仅每年的平均长度与回归年长相当，而且连日期与星期的对应关系也都是固定不变的，这样我们每当黄金周放假时，就不需要每年都根据当天是星期几而调来调去了。如此结果，可谓皆大欢喜。

但是立法改革不仅属于天文学的范畴，还是民俗、宗教、社会和经济方面的综合问题。改历能否实施取决于公众的接受程度。如果没有某种契机，历法改革虽是方案迭出，而实施却毫无着落。因此，“世界历”虽好，但我们短期内对它的实施还是不要期望过高了。

地球自转、月球公转、地球公转导致了日、月、年，年、月都不可被日整除，导致了历法的复杂化。