新型4-DOF并联机器人位置和工作空间分析

张艳华，杜秀菊，吴立勋

（河北师范大学 机械系，石家庄 050031）

0 引言

空间4-DOF并联机器人是少自由度机器人的一个重要类型，但由于目前对具有这类机器人的研究还很少，可选用的机型十分有限，因而大大影响这类机器人的实际应用。本文提出采用6-6-5-5结构形式的几种新型四自由度并联机器人机构，它们由固定平台B、运动平台m、两个基本运动副为5的运动支链和两个基本运动副为6的运动支链组成。基本运动副为5的运动支链由虎克铰U、移动副P、转动副R构成，如UPU、PUU、RPS等；基本运动副为6的运动支链由虎克铰U、球面副S、移动副P构成，如SPS，PSS，UPS，PUS等。当选用不同的运动支链形式和装配方式，可以得到不同的机构构型，2UPU/2SPS并联机构是其中的一个典型的机构，2UPU/2SPS并联机构如图1所示。相同的运动支链相邻分布，即两个UPU支链布置在固定平台B边线R1两端，两个SPS支链布置在固定平台B边线R3两端。

图1 2UPU/2SPS机构

并联机器人机构的位置分析是求解机构的输入和输出构件之间的位置关系，分为正解和反解问题，这是机构运动分析的最基本的任务，也是机构运动分析、工作空间分析、动力分析和机构综合的基础。解析和数值分析方法已应用于研究并联机器人机构位置分析问题，但是分析计算过程相当复杂，对于由不同运动支链构成的新型4-DOF并联机器人机构，建立解析数学模型的难度很大，甚至有时无法确定机构的自由度。

并联机器人机构的工作空间是机器人末端执行器上的参考点所能达到的区域范围，其解析求解是一个非常复杂的问题。学者们提出了不少描述并联机构的工作空间的方法，比如：全工作空间、可达工作空间、灵活工作空间、次工作空间、姿态工作空间和位置工作空间等[1～4]。尽管对机器人的工作空间的分类和描述已作了不少的研究，但对于能实现各种姿态运动的并联机器人来说，工作空间分析要依赖机构位置正解来解决，因而分析过程非常复杂，另外采用怎样的方法将并联机器人的运动的各种位姿参数在三维直角坐标系中全面地描述出来，也就是所说的可视化处理，还没有很好的方法。

根据计算机辅助几何法[5～7]构造2UPU/2SPS并联机器人机构，并用这种方法分析位置问题，验证结果表明可以利用模拟机构解决空间并联机构的位置正解问题，并且提出采用计算机辅助几何法绘制2UPU/2SPS并联机构的工作空间边界曲面。

1 机构运动模拟和约束模型

对2UPU/2SPS并联机器人模拟机构进行运动计算机仿真，侧视图和俯视图如图2所示。由图中可以看出在四个移动副输入作用下，动平台的对角线b2b4在定平台上的投影始终与定平台的对角线a2a4保持平行，而b1b3在定平台上的投影与定平台的对角线a1a3不能保持平行关系，表明动平台存在两个转动自由度。计算机模拟结果表明动平台具有二维移动和二维转动，分别为沿Y、Z方向的移动和绕b2b4和a1a3转动。设(XP，YP，ZP，α，β)为动平台坐标原点P相对定坐标系O-XYZ的位移和动坐标系P-xyz绕b b、aa的转角。

图2 2UPU/2SPS模拟机构的侧视图和俯视图

设点ai(i＝1，2，3，4)点在坐标系O-XYZ中的坐标为{Xai，Yai，Zai}, 设bi点在坐标系O-XYZ和P-xyz中的坐标分别为{Xbi，Ybi，Zbi}和{xbi，ybi，zbi}。由此，可以根据坐标转换建立如下方程：

模拟结果还表明，机构运动过程中满足几何约束关系：

以P和R分别表示动坐标系P-xyz相对于固定坐标系O-XYZ的位置和姿态，P为3×1矢量，R为3×3矩阵。根据机构的运动特点，P及R可表示为：

式中cα=cosα，sα=sinα，tα=tanα。

由此可得到机构的齐次变换矩阵：

根据坐标转换式(1)得到如下方程：

根据机构的特征可以建立机构约束方程如下：

式中的±号对应着机构的两种不同装配方式。

1.1 位置反解

2UPU/2SPS并联机构的位置反解是当结构参数和动平台的位姿(XP，YP，ZP，α，β)已知时，求各分支输入移动副所在杆长(L1，L2，L3，L4)。设初始位置时机构上点a1、a2、a3、a4和点b1、b2、b3、b4均位于坐标轴上，其中a1、a3、b1、b3为虎克铰中心点，a2、a4、b2、b4为球副中心点。由于定平台和动平台正四边形，所以设点a1、a2、a3、a4到原点O的距离为D，点b1、b2、b3、b4到原点P的距离为d，其中a1a3=a2a4=2D，b1b3=b2b4=2d。

由此，可以写出bi点在坐标系P-xyz中的坐标和ai点在坐标系O-XYZ中的坐标：

当动平台的位置和姿态给定时，将式(6)、(8)、(9)代入式(7)中就可以求出对应的四个输入L1，L2，L3，L4，建立反解方程。

1.2 位置正解

2UPU/2SPS并联机构的位置正解是当已知结构参数和四个输入(L1，L2，L3，L4)，求解动平台的位置(XP，YP，ZP，α，β)。将式(10)-(13)的两边同时平方并移项整理成关于Y，Z，α，β的方程如下：

将式(14)减去(16)，(15)减去(17)，(14)加上(16)，(15)加上(17)分别得：

由式(19)得到关于β与ZP的表达式：

将式(22)代入(21)得到关于YP与ZP的表达式：

将式(22)和(23)代入(20)得到关于α与ZP的表达式：

式(22)、(23)、(24)分别为β、YP、α与ZP的关系方程，由于模拟机构得到的位姿参数数值为精确解，则通过模拟机构直接得到ZP的数值，再分别代回上述三式就得到YP、α、β的数值，正解完毕。由并联机构的位置正解方程的推导过程表明，推导各位姿参数的封闭解比较复杂。采用计算机辅助几何法可以简化解析过程，由XP、β、YP、α与ZP的关系方程(2)、(22)、(23)、(24)，再结合通过模拟机构就可以解决正解问题。

1.3 解析方程对模拟机构的位置正解结果数例验证

由模拟机构，定平台边长Ri=100cm，动平台ri=50cm，给定四个输入杆长(L1，L2，L3，L4)和位置坐标ZP，用解析方程(22)、(23)、(24)计算2UPU/2SPS并联机构动平台的其它位姿(XP，YP，α，β)，解得的位姿坐标见表1。以表1中的解析方程求得的位姿数值(XP，YP，α，β)与模拟机构得到的位姿参数进行比较，表明两种结果完全吻合。由此证明运动模拟所分析的2UPU/2SPS并联机构的运动特性是正确的，而且通过模拟机构得到的位姿正解数值为精确解。

表1 2UPU/2SPS机构位置正解结果

2 2UPU/2SPS并联机构工作空间分析

在求解机器人的工作空间时，如果对输出的姿态不作限制，得到的工作空间称为可达工作空间。但是对于非平动机构来说，由于并联机器人的末端存在位置和姿态的强耦合，因此增加了定义和描述工作空间的难度，其工作空间可以分为定方向和定姿态工作空间两部分，它们都是可达工作空间的一部分。定方向工作空间是指固连于机器人末端的某一向量保持不变时得到的工作空间，定姿态工作空间是指机器人末端的姿态保持不变时得到的工作空间。并联机器人工作空间的边界曲面是很难用解析式描述的，本节分别使用计算机辅助几何法和解析法分析2UPU/2SPS并联机构的工作空间，并比较两种方法的特点。

2.1 模拟机构的工作空间边界曲面绘制

模拟机构的可达工作空间的边界曲面可以通过计算机辅助几何法绘制。以动平台中心点P为参考点，2UPU/2SPS并联机构的工作空间边界曲面可以通过模拟机构方法由以下方法搜索得到：

1）确定动平台中心点P在坐标系O-XYZ中的可达空间为搜索空间，将该空间用平行于XOY面的平面从Zmin到Zmax分割成厚度为ΔZ的微小子空间，将Z设置为主驱动尺寸，以ΔZ为步长变化Z的数值进行搜索，则第i次搜索时：

2）取四个输入杆长Li(i=1，2，3，4)的变化范围为80cm～120cm，并设置Zmin=45cm，Zmax=91cm。对于第i次搜索时不同的Z值处，当L1max=120cm，L3min=80cm(或L1min=80cm，L3max=120cm)时，从Limin=80cm，Limax=120cm变化L1、L3的数值，各得到一条边界曲线。整个搜索和模拟过程显示机构动平台的转角大致从0°-80°变化。

3）使用“放样曲面”命令，将各边界曲线绘制成一个曲面，这样就得到2UPU/2SPS 并联机构的可达工作空间的部分边界曲面，如图3所示。

图3 2UPU/2SPS模拟机构的工作空间边界曲面侧视图和俯视图

2.2 定姿态工作空间分析

下面根据位置反解方程研究2UPU/2SPS并联机构的定姿态工作空间。由2UPU/2SPS并联机构的位置反解方程式(10)-(13)可得：

上式是表示在坐标系O-XYZ下的四个圆球面，当机构的结构参数D、d和动平台转角α一定时，球面的球心所处的位置就是常量了，只有球的半径不断地变化。如果设四个输入杆长Li(i=1，2，3，4)的变化范围为：

那么，2UPU/2SPS并联机构的位置工作空间是四个相同的内径为Limin，外径为Limax的空心球体的交集。根据模拟机构中的结构尺寸可得D=70.707cm，d=35.3535cm，令Limin=80cm，Limax=120cm，在CAD软件环境下得到机构在不同转角α下的位置工作空间截面形状，如图4所示。

由式(26)-(29)还可以得到，2UPU/2SPS模拟机构的工作空间以X轴为中心线呈对称分布。当动平台以-α角转动，得到的工作空间截面与图4所示的截面关于X轴对称。如给定一个Z和转角α的范围，将各个转角下的相同Z值的工作空间截面叠加，就可以得到机构的可达工作空间。但是由分析过程和截面图4知，通过解析方程求解和确定2UPU/2SPS并联机构在某一姿态转角范围内的工作空间边界条件是十分困难的。

图4 2UPU/2SPS模拟机构的定姿态工作空间剖切图

通过两种分析方法比较可得，采用计算机辅助几何法搜索并联机器人的工作空间边界曲面是可行的，整个过程不仅直观性强，而且可以免去建立复杂的运动方程的繁琐和解析过程，适合求解2UPU/2SPS并联机构的工作空间边界这类复杂问题。由分析过程还总结出了一种采用计算机辅助

几何技术建立空间并联机器人机构位置正反解方程和绘制工作空间边界曲面的新方法。结果表明并联机器人模拟机构可以作为建立解析方程的启发工具及验证解析求解结果的理论依据，而且当给定输入件尺寸后，利用模拟机构得到的动平台位姿参数为精确解。对于其他4-DOF模拟机构也可以采用类似方法进行位置分析和工作空间分析。

[1] Z.Huang,J.Wang,Y.F.Fang.Analysis of instantaneous motions of deficient-rank 3-RPS parallel manipulators[J].Mechanism and Machine Theory,2002,(37):229-240.

[2] G.R.Dunlop and T.P.Jones.Positon Analysis of a 3-DOF Parallel Manipulator[J].Mechanism and Machine Theory,1997,32(8):903-920.

[3] Ping Ji,Hongtao Wu.Kinematics analysis of an offset 3-UPU translational parallel robotics manipulator[J].Robotics and Autonomous Systems,2003,(42):117-123.

[4] Meng-Shiun Tsai,Ting-Nung Shiau, et al.Direct Kinematic Analysis of a 3-PRS Parallel Mechanism[J].Mechanism and Machine Theory,2003,(38):71-83.

[5] 张艳华.平面3-RRR并联机器人运动分析的计算机模拟逼近法[J].机械设计,2005,25(10):31-34.

[6] 张艳华.4-DOF并联机器人型综合与分析的计算机辅助几何法[J].机械设计,2006,25(10):28-31.

[7] 张艳华.用计算机几何技术求解平面机构动力学的方法[J].机械传动,2010,34(4):57-60.