弱积分C-半群拓扑

董晓丽，赵华新

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000）

弱积分C-半群拓扑

董晓丽，赵华新

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000）

利用积分C-半群及连续线性泛函的概念，引入了一个新的局部凸向量拓扑，并对其基本性质及积分C-半群在新的局部凸线性拓扑意义下的性质进行了初步研究。

积分C-半群；局部凸向量拓扑；生成元；弱积分C-半群拓扑

1 预备知识

定义1.1设（X，‖·‖）是一个Banach空间，（X，‖·‖）′为X的共轭空间，B（X）为X到X的有界线性算子的全体构成的算子空间，n∈N+，C∈B（X），B（X）中的一个强连续算子族｛T（t）：t≥0｝称为（X，‖·‖）上的一个n次积分C-半群，即满足下列条件：

又称｛T（t）：t≥0｝是非退化的，如果

定义1．2n次积分C-半群｛T（t）：t≥0｝的无穷小生成元A是如下定义的算子：

定义1．3A的C-预解式定义如下：

PC（A）=｛λ：λ-A为单射且R（C）⊂R（λ-A）｝。对∀λ＞ω，及x′∈（X，‖·‖）′，令

则利用积分C-半群的定义容易验证，对∀x，y∈X及λ＞ω有：

即Pλ，x′（x）是X上的一个半范数，从而由半范数族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝可以确定一局部凸向量拓扑，记为τ*。

2 主要结果

定义2．1由上述半范数族S=｛Pλ，x′：λ＞ω｝所确定的X上的局部凸向量拓扑，称为X上的相应于x′的弱积分C-半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为（X，τ*）。

引理2．1［5］设E是线性空间，A，B是E上的两族半范数，则由A确定的拓扑弱于由确B定的拓扑的充要条件是：对每个q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正数c1，c2，…，cm，使得对一切x∈E成立：

q（x）≤c1p1（x）+c2p2（x）+…+cmpm（x）。

定理2．1X上的弱积分C-半群拓扑弱于积分C-半群拓扑，也弱于由范数所确定的局部凸向量拓扑。

证明因为对∀λ＞ω及x′∈X′，x∈X有

Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，由此及引理2.1与积分C-半群拓扑的概念，易见命题成立。

定义2．2在一个局部凸线性拓扑空间X中，若对任意Cauchy序列｛xn｝，｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）都收敛，则称X关于相应于x′的弱积分C-半群是完备的。

定理2．2局部凸线性拓扑空间（X，τ*）是弱积分C-半群完备的。

证明设｛xn｝是（X，τ*）的任意Cauchy序列，则对于任意连续半范数q（x）及ε＞0，集合U=

｛x：q（x）＜ε｝构成0的一个邻域，从而必存在自然数N，使得当n，m＞N时，有

（xn-xm）∈U，即q（xn-xm）＜ε。

特别地，对任意Pλ，x′（x）∈S有

Pλ，x′（xn-xm）=‖x′R（λ，A）C（xn-xm）‖

=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）（xn-xm）dt‖

=‖x′λn∫0+∞e-λtT（t）xndt-x′λn∫0+∞e-λtT（t）xmdt‖＜ε。

可知｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）为Banach空间（X，‖·‖）中的Cauchy序列，从而｛x′R（λ，A）Cxn｝（λ＞ω）必收敛，由定义2.2得证。

定理2．3当｛T（t）：t≥0｝是非退化的积分C-半群且x′≠0时，弱积分C-半群拓扑τ*是分离的。

证明由于｛T（t）：t≥0｝是非退化的，即如果对∀t有T（t）x=0，必有x=0。所以对∀x≠0有sαu＞pωPα，x′（x）=sαu＞pω‖x′R（α，A）Cx‖＞0。从而对∀x≠y，即x-y≠0，必存在一α∈（ω，+∞），使得

Pα，x′（x-y）=3d＞0，令V=｛x：Pα，x′（x）≤1｝，则x的邻域x+dV与y的邻域y+dV彼此分离，即半群拓扑τ*是分离的。

由于Pλ，x′（x）=‖x′R（λ，A）Cx‖≤‖x′‖·‖R（λ，A）C‖·‖x‖，所以拓扑τ*弱于由范数所确定的局部凸向量拓扑，从而当｛T（t）：t≥0｝是（X，‖·‖）上的积分C-半群时，它也是局部凸线性拓扑空间（X，τ*）上的积分C-半群。

关于相应由不同的x′∈X′的弱积分C-半群拓扑之间的关系，有如下结果：

定理2．4设x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β为任意常数，即x′是x1′，x2′的任意线性组合，则由半范数族｛Pλ，x′（x）｝所确定的局部凸向量拓扑弱于由半范数族｛Pλ，x1′（x），Pλ，x2′（x）｝所确定的局部凸向量拓扑。

证明因为对∀x∈X，有

再利用引理2.1，可证得本定理结论。

［1］赵华新.C0-半群拓扑（I）［J］.纯粹数学与应用数学，2006（3）：420-423.

［2］赵华新.C-半群拓扑［J］.河南科学，2006（2）：157-158.

［3］王晓梦，赵华新，常胜伟.积分C-半群拓扑［J］.延安大学学报（自然科学版），2008，27（2）：5-6.

［4］常胜伟，赵华新.弱C-半群拓扑［J］.江西科学，2007，25（6）：669-671.

［5］夏道行，杨亚立.线性拓扑空间引论［M］.上海：上海科学技术出版社，1986.

［6］刘曼，郭玲利.n次积分C-半群的表示定理［J］.徐州工程学院学报，2005（5）：4-8.

［责任编辑 贺小林］

Weakly Integrated C-Sem igroup Topological

DONG Xiao-li，ZHAO Hua-xin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an 716000，China）

By using the integrated C-semigroup of bounded linear operator and continuous linear functional，a new locally convex vector topological is introduced，some propositions of it are given.

integrated C-semigroup；locally convex vector topological；generator；weakly integrated C-semigroup topological

O177.2

A

1004-602X（2011）04-0004-02

20110920

董晓丽（1986—），女，陕西铜川人，延安大学在读硕士研究生。