基于小波分析的信号去噪方法

2011-06-13刘志松

浙江海洋大学学报(自然科学版) 2011年2期

刘志松

（浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山 316004）

1910年Haar构造了紧支撑Haar函数系，但是直到80年代人们才真正开始研究小波，1986年，Mallat和Meyer提出了多分辨分析理论（Multi-resolution Analysis，简记MRA），为小波的构造提供了一般的途径。多分辨分析的思想是小波分析的核心，是理论和应用的结晶。从此，小波分析真正形成为一门学科，由于其数学的完美性和应用的广泛性，使其在科学应用上得到了迅速发展，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

长期以来，传统的Fourier变换在信号分析、处理中起了十分重要的作用，也是信号去噪的主要手段。但是给信号去噪的同时，存在着保护信号和抑制噪声之间的矛盾。而且在实际应用中，大多数信号都是非平稳的，这给Fourier变换对非平稳信号去噪带来了困难。近年来，小波理论得到了迅速的发展，由于其良好的时频特性在信号去噪领域受到了许多学者的重视。

1 传统信号去噪方法和去噪性能指标介绍

在实际工程问题中，我们得到的原始信号总会混杂着一定的噪声，而噪声的存在严重地干扰了信号的本质特征。因此，在对原始信号进行预处理时，对噪声加以消除或减小，以便最大程度的提取原始信号中的有用信息，是非常必要的。

在实际问题中，信号去噪性能好坏有许多的标准，下面我们介绍三种常用标准：

1)信噪比。信噪比是指信号的功率与噪声功率的比值，常被用来作为去噪效果评价的指标，信噪比的单位是分贝，去噪后的信噪比越大说明消噪效果越好.

2)信噪比增益。文献[1]将信噪比增益作为去噪效果的指标，它的定义是去噪后的信噪比与去噪前的信噪比的比值，去噪比增益越大，说明消噪效果越好。

3)均方根误差。均方根误差是指原始信号与去噪后的估计信号的均方根。

在信号处理和分析中，通常把信号分为平稳信号和非平稳信号。信号的噪声一般集中在高频，而有用信号的频谱又是主要集中在一个有限的低频空间里。处理实际问题时，人们总是希望把噪声减小到可以忽略不计的程度，而使其能完全重构出信号的本来面貌。所以信号去噪有很多的方法，最常用的是Fourier变换方法和基于小波变换的信号去噪方法。

2 基于Fourier变换的信号去噪法

Fourier变换是数学分析中的重要分支，经过近些年的发展，使得它的应用领域得到大大的扩大，现已成为众多科学领域里重要的应用工具之一。

2.1 Fourier变换

在信号分析中，对信号的基本刻化往往采取两种最基本的形式，即时域形式和频域形式。Fourier变换是将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察。设原始信号为f(t)，其Fourier

从物理意义上讲，Fourier变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和，因此Fourier变换在时间域上没有任何分辨率。这样在利用Fourier变换做信号分析时就面临着一对矛盾:时域和频域的局部化矛盾。在实际信号处理中，尤其是在对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频率特征都很重要，这促使我们寻求中能将时域和频域结合起来描述和观察信号的方法。

2.2 窗口Fourier变换

为了克服标准Fourier变换在时频局部化的不足，Dennis Gabor于1946年引入了窗口Fourier变换。窗口Fourier变换虽具有一定的局部分析能力，但它的窗口是确定的，不能改变的，它只具有单分辨率的分析，对平稳信号有一定的分析能力，但对于非平稳信号它无法根据信号的变化情况来调整时频分辨率。

3 小波分析的信号去噪及其仿真实现

近年来，利用小波变换进行信号去噪始终是一个热门课题。小波分析作为一种全新的信号处理方法，它将信号中各种不同的频率成分分解到互不重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径，特别在信号去噪方面显出了独特的优势。

3.1 小波分析理论介绍

小波分析是Fourier分析思想方法的发展和延拓，能同时在时域和频域内进行局部化信号分析。是一种优于Fourier变换和窗口Fourier变换的信号处理方法，现在已经迅速发展成一门新兴的学科。

小波变换[3]是一种信号的时间-频率分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，小波分析的这种特性被誉为数学的显微镜。小波变换将信号分解为一系列由某个母小波函数经过平移与尺度变化得到的小波函数的叠加，用不同尺度小波对同一信号进行逼近有利于对信号进行逐步细致的分析，这是小波分析的基本思想。它的这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性，这决定了小波变换对非平稳信号进行时频分析时所具有的时频局部化的能力。

设ψ(t)∈L（2R）是平方可积即能量有限的信号，当其Fourier变换满足允许条件时，我们称它为一个母小波。将母函数ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一组小波基函数。对母小波进行缩放和平移操作，进而计算信号在小波分解下的系数，所得系数代表着小波和局部信号间的相互关系。小波分析分为连续小波变换和离散小波变换，在实际信号处理中，我们通常使用二进制离散小波序列

3.2 含噪信号的小波去噪原理及步骤

原始输入信号S通过2个互补的滤波器产生低频A和高频D 2个信号，对大多数信号来说，低频部分是最重要的，基本体现了信号的特征，而高频部分是信号的细节部分，与信号噪声联系在一起。小波分解是将信号的低频部分反复分解，而对高频部分不做第二次分解，只对低频做第二次分解，反复分解低频部分，这样就得到小波分解树。例如对信号S的分解如图1所示。

信号以三层分解来进行说明:S=A1+D1=A2+D2+D1=A3+D3+D2+D1.如果要进一步的分解，则可以把信号分解的低频部分A3分解成低频A4和高频D4，以下再分解依此类推。但是在实际应用中，对信号的分解不是任意的，而是可以选择合适的分解层数。从图1可以看出，对低频部分进行进一步的分解，使频率的分解率变得越来越高。基于小波的信号去噪问题在数学上是一个函数逼近的问题，从信号处理的角度来看，小波去噪问题就是一个信号滤波问题，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合，所以还成功地保留原有真实信号的特征信息。

在实际中，通常有用信号的基本特性都集中在低频部分，信号细节部分和噪声通常都表现在高频部分，因此我们要进行小波消噪有三个步骤:

1)选择一个小波并决定小波分解层次N，然后对信号S进行N层小波分解。找到合适的小波基对于信号的消噪是很重要的。

2)小波分解高频系数的阈值量化，其关键指出就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化，这关系到消噪的质量。

3)由小波系数进行信号重构。信号消噪的算法流程图如图2所示。

3.3 小波分析的信号去噪的仿真实现

利用小波分析进行信号消噪具有重要意义，它是一种时频联合分析方法，它在时域和频域都具有良好的局部化特性，在信号去噪中小波变换得到了广泛的应用。小波包分析是比小波分析更为精细的多尺度分析，小波包分析的出现也给信号去噪方法带来了新的活力，利用小波包分析给信号去噪成为信号处理领域中的研究热点。

3.3.1 一维平稳信号的去噪仿真

小波对平稳信号去噪处理的方法一般有三种[2,4-11]，分别为：

默认阈值消噪处理：即先在MATLAB产生信号的默认阈值，然后确定参数进行消噪处理；强制消噪处理：它是把小波分解中的高频部分全部滤除掉，然后再对信号进行重构处理；给定软(或硬)阈值消噪处理：阈值的取值是去噪的关键部分，该方式可以通过一些经验阈值计算公式获得阈值，这样的值比默认的阈值更具有可信度，多次尝试以获得最佳消噪效果。通过含噪一维平稳信号在MATLAB中的仿真说明去噪效果 (程序略)，如图3所示。

图1 小波分解树Fig.1 Wavelet decomposition tree

图2 信号消噪算法流程图Fig.2 Flow chart o f signal de-noising

从图3可以看出，通过Fourier变换对平稳信号消噪有一定效果，但不够理想；若采用强制消噪的方法，处理后的信号比较光滑，但同时也去掉了含噪信号中某些有用的信息；而默认阈值处理和给定阈值消噪处理则在实际应用中更实用能达到较为理想的效果。

3.3.2 一维非平稳信号的去噪

在实际工程中，我们所遇到的大部分是非平稳信号，所要分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，且噪声不是平稳的白噪声，对这种信号进行分析处理，首先要做预处理，将噪声去除，提取有用信号。小波分析能有效区别信号中的突变部分和噪声，从而实现非平稳信号的消噪。下面对一个含有噪声的矩形波信号进行消噪，通过MATLAB进行仿真试验（程序略），得到如表1和图4所示结果。

图3 平稳信号的去噪仿真图Fig.3 De-noising simulation figures of stable signal

表1 对比消噪效果Tab.1 Effect of de-noising comparison

从图4可以看出小波阈值去噪方法是最易实现、计算量最小的一种方法，但阈值的选取比较困难，另外阈值降噪对信噪比较低的信号去噪效果不是很好，本文的方案仍然需要进一步的研究和改进。用小波进行信号消噪可以很好的保持信号的尖峰和突变部分，对非平稳信号的噪声消除具有无可比拟的优点，尤其是在确定最佳阈值后能取得很好的消噪效果.

3.3.3 基于复小波的图像去噪

在图像去噪方面，试验发现复小波具有良好的去噪效果。Matlab试验结果如图5所示。