Euclid空间中几个不等式之新证

蹇小平

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

1 Euclid空间中几个重要的不等式及其证明

引理1 对于En中任何连续可微的函数u(x1,x2)，若其支集包含在|x-x0|

成立.

所以成立.

引理2 对于E2中具有有界支集的任意光滑的函数u(x1,x2,…,xn)，当n≥3时，有:

成立.

证明见文献[5].

引理3 对于E2中任意连续可微且具有有界支集Ω的函数u(x1,x2)，恒有：

成立.

证毕.

引理4 对于任意连续可微且具有有界支集的函数u(x1,x2,…,xn)，当n≥3时，恒有：

成立，其中α仅与n有关.

利用多变量函数族的有关性质易得：

再利用几何平均值小于算术平均值，易知：

即：

亦即：

这里:

所以:

证毕.

2 应用举例

利用上述不等式可以对含奇系数的特殊二阶椭圆型方程:

参考文献:

[1]刘炳初.泛函分析[M].2版.北京：科学出版社，2005.

[2]程其襄， 张奠宙.实变函数与泛函分析基础[M]．3版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]周民强.实变函数论[M]．北京：北京大学出版社，2008.

[4]蹇小平.保谱反乘法映射[J]．湖北民族学院学报:自然科学版，2002,16(4):14-16.

[5]Mukherjea A. Real and Functional Analysis[M].New York: Mcgraw-Hill,1978.

[6]蹇小平.Hilbert空间中几种重要算子[J]．湖北民族学院学报:自然科学版，2006,24(1):35-36.