广义Schur补为零的一些分块矩阵的Drazin逆表达式

卜长江，刘广峰，白淑艳

(哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨150001)

矩阵的Drazin逆表示不仅在矩阵代数中有重要意义，而且在奇异差分方程、广义系统、马尔科夫链和迭代法等领域中都有十分重要的应用［1-5］.尤其在奇异线性微分方程的解表示中［6］，矩阵的Drazin逆理论更是不可或缺的工具.1979年，以二阶奇异系统为背景，Campbell等［1］提出一个2×2分块矩阵Drazin逆表达式的open问题.1983年，Campbell［2］再次提出类似的open问题，引起学者们极大的关注，但这些问题至今未能完全解决.近年来一些学者在分块矩阵的子块满足一定条件下给出其Drazin逆表达式［7-14］.在分块矩阵的广义Schur补为零或者可逆的条件下给出其Drazin逆表达式的问题是近几年的热点问题［7-10］.本文在分块矩阵的广义Schur补为零且子块满足相应条件下给出了其Drazin表达式，推广了 Hartwing［9］及 Martinez-Serrano［10］给出的若干结果.

1 引理

为了得到本文的主要结果首先给出如下引理.引理 1［10］设 P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O且PQ是k次幂零矩阵，则

其中:k=ind(PQ)，t=ind(P2).

引理 2［10］P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O，QPQ=O且(PQ)2=O，则(P+Q)D=PD+Q(PD)2+PQ(PD)3.

2 主要结果

该文主要是得到下面形式的2×2分块矩阵Drazin逆表达式

式中:A和D是方阵，设M的广义Schur补S=DCADB等于零.

证明:由于M=PNP-1，令N=P1+P2，

所以，由引理1得

因为MD=PNDP-1，

下面给出定理1的推论，此推论恰好是文献［10］的结果.

推论 设分块矩阵M如同式(1).若BCAπ是r次幂零矩阵，ABCAπ=O，则

其中:

文献［9］在 CAπB=O，AAπB=O 条件下给出分块矩阵M的Drazin逆表达式.本文的定理2在CAπBC=O且AAπBC=O的条件下给出M 的的Drazin逆表达式.显然，CAπBC=O和AAπBC=O是CAπB=O和AAπB=O成立的必要条件.

定理2 设分块矩阵M的形式如同式(1).若CAπBC=O，AAπBC=O，则

其中:B11、B12、Z 如定理中所示.

通过与定理1和定理2类似的证明方法分别给出定理3和定理4.

证明:证明过程与定理2类似，略.

定理4 设分块矩阵M的形式如同式(1).若AπBC 是 p次幂零矩阵，(A+ADBC)AπBC=O，则

其中:

证明:证明过程与定理1类似，略.

3 数值例子

针对上述定理的应用分别给出其数值例子.

例1

因为(A+BCAD)BCAπ=O，(BCAπ)2=O，

所以满足定理1的条件，

从而，由定理1得:

因为AAπBC=O且CAπBC=O.

所以满足定理2的条件，从而，由定理2得

因为 CAπBCAπ=O(A+BCAD)BCAπ=O，所以满足定理3的条件，从而，由定理3得:

因为(A+ADBC)AπBC=O 且(AπBC)3=O，所以满足定理4的条件.从而，由定理4得

4 结束语

［1］CAMPBELL S L，MEYER C D.Generalized inverse of linear transformations［M］.New York:Dover Publications，1991:36-87.

［2］CAMPBELL S L.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations［J］.Linear and Multilinear Algebra，1983，14:195-198.

［3］MEYER C D，SHOAF J M.Updating finite Markov chains by using techniques of group inversion［J］.Statist Comput Simulation，1980，11(11):163-181.

［4］KIRKLAND S J，NEUMANN M，XU J.Convexity and elasticity of the growth rate in size-classified population model［J］.SIAM Matrix Anal Appl，2004，26(1):170-185.

［5］CLIMENT J J，NEUMANN M.A semi-iterative method for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index［J］.Compute Appl Math，1997，87(1):21-38.

［6］CAMPBELL S L，MEYER C D，ROSE N J.Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients［J］.SIAM J Appl Math，1976，31(3):411-425.

［7］MIAO J.Results of the Drazin inverse of block matrices［J］.Shanghai Normal University，1989，18:25-31.

［8］WEI Yimin.Expressions for the Drazin inverse of a 2×2 block matrix［J］.Linear and Multilinear Algebra，1998，45(2/3):131-146.

［9］HARTWIG R，LI Xiezhang，WEI Yimin.Represe-tations for the Drazin inverse of a 2 × 2 block matrix［J］.SIAM Matrix Anal Appl，2006，27(3):757-771.

［10］MARTINEZ-SERRANOAND M F，CASTRO-González N.On the Drazin inverse of block matrices and generalized Schur complement［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215(7):2733-2740.

［11］HARTWIG R，WANG Guorong，WEI Yimin.Some additive results on Drazin inverse［J］.Linear Algebra Appl.，2001，322(1/2/3):207-217.

［12］LI Xiezhang，WEI Yinmin.A note on the representations for the Drazin inverse of 2×2 block matrix［J］.Linear Algebra Appl，2007，423(2/3):332-338.

［13］BU Changjiang，LI Min，ZHANG Kuize，et al.Group inverse for the block matrices with an invertible subblock［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215(1):132-139.

［14］BU Changjiang，ZHAO Jiemei，ZHENG Jinshan.Group inverse for a class 2×2 block matrices over skew fields［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，204(1):45-49.