Rushton搅拌釜气含率分布CT彩色数字成像模型研究

刘跃进，孔丽娜，白鸽，韩路长，曹杨，罗和安

(湘潭大学化工学院化工过程模拟与优化教育部工程研究中心，湖南湘潭411105)

CT(computed tomography)是利用辐射信号对被测对象进行断面扫描，采集通过被测对象衰减后的扫描信号，利用计算机手段对所采集信号进行数学处理和图像重构，得到被测对象某种指标的断面图像和数字分布，其发射信号一般为χ或γ射线，是一种无介入、非接触、不受体系浓度和高温高压限制的探测方法，可以一次得到被测对象断面二维测量结果，测量结果可以图像和数字化同时显示［1］.γ射线由于具有较强的穿透力在国外早已被应用于多相流研究［2-4］，国内虽然有关于 γ-CT 的研究报道［5-7］，但实际应用测量成像的报道甚少［8-9］.在多相流领域，CT处理的对象是具有瞬时随机不确定性分布的多相流体，这与处理具有静态确定分布的多相物质有一定区别，所涉及到的数学处理和图像重构方法也不尽相同.γ射线CT用于多相流测量，主要是测量多相流断面分相分率分布，如气液体系气含率分布和气固或者液固体系固含率分布［10］.

1 CT测量气含率分布原理

当γ射线辐射信号通过流体介质时，符合Beer-Lambert定律:

式中:Φ为ρμ的乘积，是流体参数;I0、I分别为放射源发射信号、探测器接受信号的强度.

对单相流体，分别有

下标d、f分别代表流体分散相和连续相.

对于两相流体，有

当以ε表示两相流体的分相分率(指体积分率);L为辐射所通过两相流体距离，则有

由式(2)和(5)，可得

式(6)反映了利用辐射衰减定律来求两相流体分相分率的基本原理，但这里求得的是辐射距离L上流体分相的平均分率，而分相分率ε存在着一定的分布.当以f(l)表示流体参数Φ在任一辐射距离L上的分布，则有

式(7)是普遍意义上的Beer-Lambert辐射衰减定律，它将辐射信号的衰减变化与流体参数Φ的分布关联起来.

CT信号的发射与收集有多种方式，如图1是一个辐射源和多个探测器旋转的方式.按照CT装置的空间分辨率，将两相流体断面划分为很多像素小区间.图1所示是一个辐射照的情况.

参照图2，容器断面上任一割线L的方程可表示为

这样，通过容器断面任一辐射信号衰减方程可表示为

方程(9)实际上是一个图像重构问题.数学上可以证明，如果P(r，θ)在无限平面上连续，且对r有连续的一阶偏导数，通过Radon逆变换［11］，可以求得流体参数的唯一分布函数为

由于两相流体积具有线性加和性，则

这样可求得气含率在容器断面上的分布为

式中:Φd、Φf应由式(5)求出以消除容器壁对γ射线信号的衰减影响.

图1 一个辐射照中射线通过容器像素示意图Fig.1 The schematic of CT projections through pixel area of reactor in a view

图2 几何构型的层析投影Fig.2 The geometrical configuration of tomographic

以上说明了γ射线CT测量两相流分散相分布的基本原理和流体参数分布Φ的唯一可解性，式(10)、(12)即为气含率分布求取式.但由于γ射线CT辐射信号的发射、衰减、接受和容器中两相流体的瞬时分布均是随机过程，因此式(10)、(12)很难直接求解，而必须采用数理统计方法来建立气含率分布的数字成像模型.

2 CT测量气含率分布数字成像模型

2.1 最大似然估计方法

对于方程(9)这样的图像重构问题，可以通过大量的实验测量数据P(r，θ)对f(x，y)进行估计来实现 CT 彩色数字图像［12］，如过滤背投影法［13］、代数重构法［14］和最大似然估计法［15］等.当把 CT发射和接受信号过程看成Poisson分布、流体吸收衰减信号过程为二项分布时，适用最大似然估计法来进行参数估计.

设被测变量样本空间为Y，其概率密度分布函数为g(Y，Φ)，Φ为待估计参数.要求一个完整母空间X，其概率密度分布函数为f(X，Φ)，且与Y具有对应关系h(X)=Y，Y是X的一个子空间，具体步骤为:

1)在已知实验样本空间Y和参数Φ(开始时需假定Φ的初值)条件下，基于发射和接受辐射信号的Poisson分布和辐射衰减信号的二项分布随机模型，对完整母空间X进行估计:

2)在所估计X空间下，求其联合概率密度分布函数，并对其联合概率密度分布函数采用线性最大似然估计法求参数Φ的迭代式:

先求表达式:

令

求得

3)以Y、X和Φ代入式(14)判断是否达到最大，如果是，则Φ即为所求;如果不是，重复步骤1)、2)，直至达到最大为止.

2.2 基本假定

假定1 在一辐射照内以横排像素为单元进行参数估值.虽然这个假设与实际情况出入很大，但这样做的好处一是使估值过程大大简化并得以进行，二是这个误差权重只占1%左右，因为旋转一周有近百个辐射照，而最后结果是对所有辐射照情况下所估值再求平均.

假定2 放射源发射信号数即为进入像素横排Gi的信号数，放射源发射信号数和探测器接受辐射衰减信号数yi均分别用平均值为d和λi为的Poisson概率分布来描述，而它们之间的信号传递则用二项概率分布来描述.

2.3 数学推导

放射源在一个辐射照时间Δt内所发射信号数的平均值为

根据辐射信号衰减式(7)，任一探测器在Δt时间内所接受信号数的平均值为

按照假设2，有

式中:M、N分别为一个辐射照内的辐射线总数和横排像素总数;Gi、Ni分别表示与辐射线i初次相遇和最后离开的横排像素序号数.

当为xi，j的辐射信号进入横排像素j时，一部分被流体介质所吸收，一部分又继续辐射出去.按照假定2，离开的辐射信号数为xi，j+1的概率是:

各横排像素之间是相互独立的，故所有像素区间辐射信号数的联合概率密度为

取对数，得

式中:R与Φj为无关项.按照式(7)，进入横排像素j的辐射信号数xi，j的期望值是:

又

在给定进入横派像素j的辐射信号数xi，j条件下，探测器接受辐射衰减信号数yi的概率是:

xi，j服从平均值为 γi，j的 Poisson 分布，而在确定

xi，j条件下的 yi则服从成功概率为 γyi/γi，j的二项分布，因此这两者的联合概率密度是:

给定yi条件下xi，j的概率密度是:

由式(30)可知，(xi，j-yi)在给定 yi条件下服从期望值为(γi，j-γyi)的 Poisson 分布，故有

式(32)用来完成式(13)即对X的估值.对式(23)中的Φj求偏导，并令其等于0，得

当容器断面S＜1时，有如下近似式

常见流体水的 Φ为0.086 cm，空间分辨率2 mm，ΔliΦj=0.017 2，满足式(34)，这样可解得

式(35)即为φj的迭代式.

通过式(25)～(27)、(32)、(35)可对参数Φ进行反复估值，直至式(23)达到最大值为止.

改变辐射照的位置，又可对另外一组流体参数Φ矢量进行类似的估值.然后按照所有像素小区间的几何位置，加和求平均，即得各像素小区间的流体参数Φ.对每个像素小区间，有

得

这样就求出了每个小像素区间分相分率，其计算过程用Fortrun语言编程计算，并且通过Matlab实现分相分率的彩色图像显示和数字变化曲线.

3 实验条件

3.1 测量参数

实验测量参数如下:

1)100m Ci的137Cs为放射源，7个NaI晶体探测器扇形排列，每个探测器前面都装有一个长7 cm、直径2.5 cm的准直器，准直器中间有一个宽2 mm、高5 mm、长70 mm的矩形孔让放射线通过到达探测器，以减少Compton漫反射效应.CT装置的空间分辨率和密度分辨率分别是2 mm和40 kg/m3.

2)采用20 cm内直径的标准Rushton气液搅拌釜，壁厚6.5 mm，挡板厚度1.5 mm，4 块，搅拌浆轴直径8 mm，在15 cm液高处扫描.

3)探测器间距5°，整组探测器又以0.2°间隔旋转4.8°形成一个辐射照.在一个辐射照内一个探测器停留25个测量位置，每个测量位置停留5.7 s，采样频率20 Hz.这样在一个测量位置采样114个，最后在360°范围内均匀旋转测量100个辐射照，共采集1 995 000个数据，形成17 500条辐射线信号，以满足γ射线随机信号采样和CT测量装置空间分辨率的要求.旋转一周共花4 h之久，又是依据大量随机信号进行统计处理，因此测得的是气含率分布的时均值.

3.2 扫描位置

在搅拌时，搅拌桨透平上、下方空间会形成一个负压循环区，分布器上升的气泡被搅拌桨叶片及液面剪切力打碎分散，形成大量小气泡，一部分快速进入此内循环负压空间，另一部分被旋转液体甩向外围.通过实验观察，扫描位置被选定在形成相对均匀的气含率断面分布的3/4静液高处.

3.3 CT扫描实验设计

气液Rushton搅拌釜气含率分布CT扫描实验设计见表1.

表1 气含率分布CT扫描实验Table 1 CT scan experiment of gas holdup distribution r/m

4 结果与讨论

气含率分布受搅拌釜尺寸及操作条件等因素的影响，为研究所构建的CT测量气含率分布彩色数字成像模型可行性及准确性，本文对比研究了不同操作条件下气含率断面CT彩色数字图像.

4.1 搅拌转速的影响

图3 18.88 L/min通气量下不同搅拌转速CT图像Fig.3 CT images of gas holdup distribution with gas flow rate 18.88 L/min at different impeller rotating speeds

图3为通气量18.88 L/min，搅拌转速不同气含率断面CT彩色数字图像.其清楚表明CT图像与釜实际尺寸完全一致，这说明了数字成像算法的可行性;同时，CT彩色数字图像也清楚形象地表现出3种不同搅拌转速下不同搅拌区气含率分布的差别.从CT彩色成像图还可看出，随着转速的增加，气含率主要在搅拌桨正上方空间增加较多.为了验证CT彩色数字图像的准确性，图4列出了上述3种不同搅拌转速下平均气含率沿无因次半径的分布曲线.

图4 通气量18.88 L/min下不同搅拌转速气含率沿无因次半径分布曲线Fig.4 The effect of impeller rotating speed on gas holdup distribution at gas rate 18.88 L/min

由图4可知，在同一通气量下，不同搅拌转速的径向气含率分布趋势几乎相同，从搅拌器中心位置到器壁均呈先增大后减小趋势，当无因次半径在0.25～0.6之间时，达到最大，并且此区间气含率分布随搅拌转速的增加而明显增加，由气含率断面CT彩色数字图像图角度也可得出同样结论，证明了实验测量及数字成像算法的准确性.

4.2 通气量的影响

图5为搅拌转速800 r/min，不同通气量的气含率断面分布CT彩色成像图.如图所示，在3种通气量下，气含率分布均随通气量的增大而增大，通气量对气含率的影响明显大于搅拌转速对其的影响.图6列出了上述3种不同通气量下平均气含率沿无因次半径的分布曲线.

如上图所示，在整个无因次半径区间，气含率分布均随通气量的增大而增大，当无因次半径在0.25到0.6之间时，增加趋势更为显著.此结果与图5所呈现的结果基本一至，进一步证明了实验测量及数字成像算法的准确性.

图5 搅拌转速800 r/min下不同通气量下CT图像Fig.5 CT images of gas holdup distribution with impeller rotating speed 800 r/min at different gas flow rates

图6 搅拌转速800 r/min下不同通气量平均气含率沿无因次半径变化曲线Fig.6 The effect of gas rate on gas holdup distribution at impeller rotating speed 800 r/min

4.3 分布器的影响

图7为通气量9.44 L/min，搅拌转速500 r/min下2种分布器的气含率断面CT彩色数字图像.观察CT彩色数字图像可知，16孔0.5 mm孔径情况下，从圆环气体分布器上升至搅拌桨间的气泡较8孔1.5 mm孔径下略密略小，但两者差别不大.为进一步定量比较，图8用Excel列出了上述2种不同分布器下平均气含率沿无因次半径的分布曲线.

图7 通气量9.44 L/min，搅拌转速500 r/min下不同分布Fig.7 CT images of gas holdup distribution at gas rate 9.44 L/min，impeller rotating speed 500 r/min with different spargers

图8 通气量9.44 L/min，搅拌转速500 r/min下分布器平均气含率沿无因次半径变化曲线Fig.8 The effect of gas sparger on gas holdup distribution at gas rate 9.44 L/min，impeller rotating speed 500 r/min

如图8所示，2种分布器下平均气含率沿无因次半径分布几乎一致，只有搅拌桨区有略微差别，与图7所观察结果一致.

5 结论

1)构建了γ射线CT测量Rushton搅拌釜气含率分布的彩色数字成像模型.根据137Cs γ射线发射信号和接受信号的Poisson分布模型和两相流体吸收衰减辐射信号的二项分布模型，在给出接受信号实验样本空间条件下，采用最大似然参数估计方法，对容器断面气液两相流体吸收衰减辐射γ射线信号的二维空间进行了参数估计，推导和建立了其参数估计的数学模型.

2)运用所构建的气含率分布的彩色数字成像模型，对Rushton气液搅拌釜在不同通气量、不同搅拌速率及不同气体分布器状态下的气含率进行了图像重构，通过CT彩色数字图像与平均气含率沿无因次半径变化实验值的比较研究，证明所构建的CT测量气含率分布彩色数字成像的模型有效可行，所建CT彩色数字图像清晰准确、对比度好，分辨率高，受噪声影响小.

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