液压缸临界载荷计算和最优设计

林荣川 郭隐彪 魏莎莎 林 辉

1.集美大学,厦门,361012 2.厦门大学,厦门,361002 3.厦门厦工机械股份有限公司,厦门,361012

0 引言

液压缸是机械设备中常用的执行元件,通常承受轴向压力,当轴向力达到或超过一定限度(即临界载荷)时会发生失稳,使构件失效,导致突发性坍塌。因此,许用临界载荷的确定及抗失稳性能的设计是液压缸设计的必要内容。

1 液压缸轴向受力力学模型

图1所示为两端铰支的液压缸受力示意图,活塞杆可视为整体压杆。缸筒端盖受到高压液压油作用的轴向力P,与铰支座的轴向反力构成作用力与反作用力,如果不考虑活塞与缸体、活塞杆与端盖间的间隙,缸筒本身可认为不受压力作用,任意截面的弯矩为零。但由于间隙的存在,当液压缸整体失稳时,缸筒也存在转角和挠曲变形。

图1 液压缸受力示意图

图1中,E1 I1、E2 I2分别是活塞杆、液压缸体抗弯刚度;F是横向载荷;l是液压缸总长度;l1是活塞杆伸出长度;l2是活塞杆导向长度;l3是缸体长度 ;δ1、δ2分别是活塞杆和缸体最大挠度;μ1是活塞杆与端盖的间隙;μ2是活塞与缸筒的间隙。

2 液压缸挠度曲线微分方程建立和临界载荷计算

2.1 活塞杆挠度曲线微分方程

在轴向力P作用下,活塞杆产生弯曲变形,其中,x为液压缸长度,y1为活塞杆挠度,横向力为,则活塞杆截面弯矩可表示为

挠曲线微分方程为

边界条件和连续条件为

于是，我按照妈妈先前对我的指导，先深吸一口气，把头埋进水里，使劲儿不让气呼出来，但结果还是呛了水。我并没有灰心，再次尝试，结果又失败了。

则活塞杆挠度

2.2 缸体挠度曲线微分方程

缸体截面弯矩可表示为

相应的挠曲线方程为

边界条件和连续条件为

2.3 液压缸临界载荷计算

从图1可以看出,当活塞杆和缸体两处最大挠度(即 δ1、δ2)超过临界值时,液压缸发生失稳,则

由式(3)、式(6)、式(7)可得

式(8)是关于 δ1、δ2的非齐次方程组,其意义是：当δ1、δ2的系数行列式为0时,解为无穷大,即液压缸发生失稳,即

由式(9)可解得临界载荷的超越方程

通过牛顿迭代法可计算稳定性系数a的大小,迭代流程如图2所示。其中,a0为方程实根初值;n为最大迭代次数;ε为收敛精度。

则液压缸临界载荷可表示为

式中,E1为活塞杆弹性模量;I1为活塞杆惯性矩;l为液压缸长度。

其他约束方式的液压缸临界载荷也可以用同样方法求解,为便于比较不同约束方式对临界载荷大小的影响,根据文献[6]引入约束影响系数φ,取两端铰支液压缸的约束影响系数φ=1,不同约束液压缸临界载计算结果见表1。

图2 迭代法框图

表1 不同约束液压缸临界载荷表达式

3 液压缸优化模型和优化计算[7-12]

优化过程实际上是一个不断自动修正设计参数的过程,为保证优化过程的流畅,就需要将待优化的设计数据参数化,为修正模型提供可能,并自动完成分析-评价-修正这一循环过程。整个参数化有限元优化设计过程包括参数化建模、网格划分、加载、求解、后处理和优化迭代等。

3.1 液压缸参数化有限元模型建立和应力应变分析

活塞杆与缸盖、活塞与缸筒内壁之间的连接属于非线性接触问题,通过研究目标面与接触面的自由度关系及变形的一致性可确定接触边界条件,建立液压缸接触系统的控制方程。采用映射法构造对称于oXY平面的三维有限元模型。构造有限元模型时,优化过程所涉及的设计变量均以参数化形式描述,划分网格后共得到7456个单元,6359个节点,选用Solid45单元对液压缸进行离散分网并施加约束(以一端固定一端自由液压缸为例),轴向载荷从小逐渐增大,模拟分析临界载荷作用下危险截面的应力和变形位移情况,当载荷达到一定数值时,活塞杆变形位移和弯曲应力急剧变大,意味着失稳即将发生。非线性方程求解过程采用牛顿-拉普森迭代法。活塞杆和缸体有限元模型如图3、图4所示,液压缸的变形位移和应力云图如图5、图6所示。从图5、图6中可以看出,液压缸受载后发生弯曲变形,最大弯曲应力和位移发生在活塞杆靠近缸筒处,此处为发生失稳的危险区域,由于活塞杆与液压缸端盖之间间隙的存在,当液压缸整体失稳时,缸筒也存在转角和挠曲变形,进一步加速了液压缸的坍塌崩溃。危险截面最大应力与活塞杆长度、直径有关,应力变化趋势如图7所示。

图3 活塞杆有限元模型

图4 液压缸体有限元模型

图5 液压缸变形位移云图

图6 液压缸变形应力云图

3.2 液压缸优化数学模型建立

工程上选用液压缸时,一般是根据载荷大小和工作行程从手册选用标准规格或者定制非标准液压缸,实质上就是在有设计变量尺寸限制的前提下,求当轴向力P一定时,活塞杆截面和长度分别取何值时液压缸的体积或质量最小。该问题属于有约束最优化问题。对于液压缸,在考虑轴向稳定性和强度要求的条件下,使用优化工具可对液压缸优化模型求解。活塞杆直径为 d,筒外径为D1,筒内径为D,壁厚为临界载荷。以液压缸第i段杆横截面直径d ini、各杆段长度li作为设计变量,以其体积V作为目标函数,以液压缸失稳及结构尺寸限制[8]为约束条件,在轴向力为Pcr情况下建立优化数学模型。目标函数：

图7 液压缸危险截面应力变化趋势图

活塞杆强度约束：

其中,[σ1]为活塞杆材料许用应力。

稳定性约束：

缸筒内径D约束：

缸筒厚度δ约束：

根据第四强度理论,[σ2]为缸筒材料许用应力。缸筒长度约束：

最小导向长度l2约束(避免因间隙引起的初始挠度过大)：

长度约束：

在优化过程中采用多约束非线性二次规划法,经过若干次优化迭代,得到设计点及最终逼近问题的最优点,由于非线性二次规划法具有自动修正功能,当约束条件不能完全得到满足时,可以自动修正有关结构尺寸来满足约束要求,该法具有很好的收敛性。

4 实验及分析

以一端固定一端自由的液压缸活塞为例,临界载荷取18kN,活塞杆极限长度取150mm,则本文优化计算数值、Ritz法计算值如表2所示。

表2 液压缸参数对照表

工程上常用 Ritz法计算临界载荷或者校核液压缸尺寸[13],为比较本文优化计算结果与实验实测值、Ritz计算值之间的大小关系,以一端固定、一端自由的系列标准单出杆液压缸(GB/T13342-2007)为实验对象,活塞杆直径d=10mm,实测不同长度下的临界载荷,将结果与Ritz计算值[13]、本文优化计算值相比较,三种情况下的l-pcr曲线如图8所示。从图8中可以看出,本文优化计算的液压缸临界载荷处于Ritz计算值和实验实测值之间。

图8 液压缸长度与临界载荷(l-Pcr)曲线比较图

用Ritz法计算临界载荷或者校核液压缸尺寸,临界载荷比实验实测值小,即设计尺寸通常比实际值略大,属于安全阈值偏大的计算,本文优化计算后液压缸主要参数值比Ritz法略小,临界载荷比 Ritz计算法略大,和实验测量数据比较接近,说明本文优化计算能满足工程需要。

5 结语

轴向受压液压缸稳定性验算是个复杂工程问题,由于液压缸尺寸通常较大,难以用实验手段测出其临界载荷,大都根据Ritz法计算结果结合经验选用液压缸尺寸,出于安全考虑,通常安全阈值偏大。本文考虑了活塞杆与缸盖、活塞与缸筒之间间隙对液压缸临界载荷的影响,通过对液压缸的三维有限元模拟分析,结合参数化有限元优化设计技术,获取在体积约束条件下液压缸的合理尺寸,通过和Ritz法计算结果以及实验实测值比对,该结果接近实验实测值,可以作为液压缸选择依据。随着液压缸筒与活塞之间间隙变大、活塞杆变形等影响因素增大,许可临界载荷应适当减小。由于忽略活塞及活塞杆密封件弹性、液压油弹性对液压缸稳定性的影响,该算法还有待进一步完善。

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