基于辛几何构作一类新的带仲裁的认证码

陈尚弟，赵大伟

（中国民航大学理学院，天津 300300）

基于辛几何构作一类新的带仲裁的认证码

陈尚弟，赵大伟

（中国民航大学理学院，天津 300300）

具有仲裁的认证码既要防止敌手的欺骗，又要防止收方和发方的互相欺骗。利用有限域上辛几何构造了一类具有仲裁的认证码，计算了其容量参数。假设编码规则是按照均匀概率分布选择，给出了敌手模仿攻击、敌手替换攻击、发方模仿攻击、收方模仿攻击和收方替换攻击的成功概率。研究结论表明可用辛几何构作许多带仲裁的认证码。

辛几何；带仲裁的认证码；有限域

为解决通信系统中发方与收方互不信任的问题，Simmons引入了具有仲裁认证码的模型，简称为A2-码。在这个模型中有4个参与者：收方、发方、敌手和仲裁。敌手可以对系统进行模仿攻击（I）和替换攻击（S），发方可以进行模仿攻击（T），收方可以进行模仿攻击（R0）和替换攻击（R1），关于这5种攻击的定义见文献[1]；将这 5 种攻击成功的概率分别记为 PI、PS、PT、PR0、PR1。仲裁者了解通信系统的全部但不参与通信活动，只有当发方与收方发生争端时才出面解决争端，因此假定仲裁者是诚实的。文献[2-7]利用有限域上典型群的几何空间构造了若干认证码。本文将辛几何用于构造具有仲裁的认证码，并计算了有关参数和各种攻击成功的概率。

1 辛空间

显然，Sp2v（Fq）是GL2v（Fq）的一个子群，则定义Sp2v（Fq）在F（2v）q上的作用如下向量空间联同辛群Sp2v（Fq）在其上的作用称为Fq上2v级辛空间。

显然，P⊥是的（2v-m）维子空间，称为P的对偶子空间。

2 构造

设 m1+m2＜v，2r＜m-m1-m2。设 V1、V2分别为中固定的（m1，0）型、（m2，0）型子空间，V1与 V2正交，并且 V1∩V2=0。取 V=V1⊕V2，则 V 是一个（m1+m2，0）型子空间，而V⊥是一个（2v-m1-m2，v-m1-m2）型子空间。信源集S是所有包含V且含于V⊥的（m，r）型子空间的集合；发方的编码规则集ET是V在V⊥中的补子空间的集合；收方的解码规则集ER是V1在V⊥中的补子空间的集合；信息集M是含于V⊥并且满足与V的和为（m，r）型子空间的所有（m-m1-m2，r）型子空间的集合。对任意 s∈S，m∈M，eT∈ET及 eR∈ER，规定：

首先证明此构作是一个A2-码。

引理 1 1）∀Q∈S 及 eT∈ET，则 Q∩eT=P∈M；

2）∀P∈M，则Q=P+V是相应于P的唯一信源，且存在 eT∈ET，使得 P=Q∩eT。

证明 1）取∀Q∈S，则Q是一个包含V且含于V⊥的（m，r）型子空间。取∀eT∈ET，则 eT是 V 在 V⊥中的补子空间。设P为V在Q中的补子空间，显然P⊂V⊥，则 Q=P⊕V=P⊕V1⊕V2，显然 P=Q∩eT，并且dimP=m-m1-m2，从而

其中PKtP的秩为2r。从而P是一个含于V⊥并且满足与 V 的和为（m，r）型子空间的（m-m1-m2，r）型子空间，即有P∈M是一个信息。

2）设P∈M是一个信息，即P是一个含于V⊥并且与 V 的和为（m，r）型子空间的（m-m1-m2，r）型子空间。令 Q=P⊕V，则 V⊂Q⊂V⊥，并且 Q 是一个（m，r）型子空间，从而Q∈S是一个信源。记Q在V⊥中的补子空间为V3，则V⊥=Q⊕V3=P⊕V⊕V3，令eT=P⊕V3，则eT是V在V⊥中的补子空间，即eT∈ET是一个发方编码规则，并且满足P=Q∩eT。

设Q1是相应于P的另一个信源，则V⊂Q1⊂V⊥并且Q1⊃P，从而Q1⊃P⊕V=Q，又因为dim Q1=dim Q，于是则有Q1=Q，即Q=P+V是相应于P的唯一信源。

因为辛群Sp2v（Fq）可迁的作用在同型子空间的集合上，所以可设

引理2 信源的个数是

证明 因为信源Q是包含V且含于V⊥的（m，r）型子空间，故Q形为

其中（Q3Q6）为2（v-m1-m2）维辛空间中的（m-m1-m2，r）型子空间，从而|S|=N（m-m1-m2，r；2（v-m1-m2））。

引理3 发方编码规则的个数是

证明 因为任一发方编码规则eT是V在V⊥中的补子空间，从而eT具有如下形式

从而（R3R6）为中的2（v-m1-m）2维子空间，只有一个，而 R1、R5任意，所以|ET|=q2（v-m1-m2）（m1+m2）。

引理4 收方解码规则的数量

证明 因为任一收方解码规则eR是V1在V⊥中的补子空间，则eR有如下形式

引理5 对∀P∈M，设与P相关联的eT及eR的个数分别为 a、b，则

证明 取定P

则相应于P的eT有如下形式

引理6 信息的数量

证明 由于对∀P∈M，存在唯一的Q∈S及a个eT∈ET使得 P=Q∩eT。所以引理7 1）∀eT∈ET，与eT相关联的eR的个数为c=qm1m2；

证明 1）取定

则与eT相关联的eR有如下形式

2）取定

则与eR相关联的eT有如下形式

从而可得d=q2m2（v-m1-m2）。

证明 取定 P=（0 0 P30 P5P6）m-m1-m2，与P相关联的eR如引理7中（2）所示，则P中与eR相关联的eT有如下形式

引理9 设P1、P2是共同包含一个发方编码规则eT的两个不同信息，令 k=dim（P1∪P2），则（m-m1-m2+1）≤k≤2（m-m1-m2），并且有

证明 1）由 dimP1=dimP2=m-m1-m2，P1≠P2以及信息的定义可得m-m1-m2+1≤k≤2（m-m1-m2）。（P1∪P2）可表示为

则与（P1∪P2）相关联的 eR可表示为

2）取定

则（P1∪P2）包含的与eR相关联的eT形式如下

定理1 此构作所得A2-码的参数为

定理2 在此构造所得A2-码中，若编码规则eT及eR都按等概率分布选取，则各种攻击成功的最大概率分别为

证明 1）设敌方用信息P欺骗收方，模仿攻击成功当且仅当P包含于收方的解码规则，由于包含P的eR的数目为b=qm1（2v-m-m1），故

2）设敌方截获发方发送的信息P1并且用P2替换后发给收方，只有当P1包含的信源s1与P2包含的信源s2不同，并且收方把P2当成合法的信息接收，敌方的替换攻击才成功。因为P1⊂eT⊂eR，故敌方的最优策略为选取 eT′⊃P1，使 P2=s2∩eT′，且 dim（P1∪P2）=k尽可能小，则

3）设发方发送一个信息P且P⊄eT，模仿攻击成功当且仅当P⊂eR，因为eR⊃eT，故发方要选取P使包含P的eR尽可能多（eR⊃eT）且P⊄eT，易知这样的eR数最多为qm1（m2-1），而包含eT的eR的个数为c=qm1m2，故

5）设收方收到信息P1后却声称收到P2，只有当P1包含的信源s1与P2包含的信源s2不同，并且P2可以由发方的编码规则加密得到，收方的替换攻击才成功。由于 P1⊂eT⊂eR，故收方的最优策略为选取eT′满足P1⊂eT′⊂eR，使 P2=s2∩eT′，且 dim（P1∪P2）=k 尽可能小，故

[1] SIMMONS G J.Message Authentication with Arbitration of Transmitter/Receiver Disputes[C]//Proc Eurocrypt′87，Berlin：Springer Verlag，1988：151-165.

[2]GAO YOU，SHI XINHUA，WANG HONGLI.Construction of authentication codes with arbitration from singular sympleetic geometry over finite fields[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Nankaiensis，2008（6）：72-77.

[3] 马文平，王新梅．基于伪辛几何的具有仲裁的认证码的构造[J]．应用数学学报，2000，18（4）：294-297．

[4] 马文平，王新梅．基于酉几何的等概的具有仲裁的认证码的构造[J]．应用数学学报，2001，24（2）：271-276.

[5] 李志慧，李瑞虎．利用伪辛几何构作带仲裁的认证码[J]．兰州大学学报（自然科学版），2005，41（5）：123-126．

[6]高 有，陶亚媛.利用有限域上交错矩阵构造Cartesian认证码[J].高校应用数学学报，2007，22A（4）：385-390.

[7] 王红丽，高 有.利用奇异伪辛几何构作具有仲裁的认证码[J].河北理工大学学报（自然科学版），2008（2）：65-70.

Construction of Authentication Codes with Arbitration over Symplectic Geometry

CHEN Shang-di，ZHAO Da-wei
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

Unconditionally secure authentication codes with arbitration protects against deceptions from the transmitter and from receives as well as those from the opponent.This paper describes a new construction of authentication codes with arbitration using symplectic geometry over finite fields，and their size parameters are computed.Assuming that the encoding rules one chosen according to a uniform probability distribution，the probabilities of a successful impersonation by the opponent， a successful substitution by the opponent， a successful impersonation by the transmitter，a successful impersonation by the receiver and a successful substitution by the receiver.This illustrates many authentication codes with arbitration can be constructed from symplectic geometry．

symplectic geometry； authentication codes with arbitration； finite field

O157.4

A

1674－5590（2011）02－0051－04

2010-04-21；

2010-07-19

天津市自然科学基金项目（08JGYBJG13900）；中国民航大学科研项目（09CAUC-S02）

陈尚第（1964—），男，山西应县人，教授，博士，研究方向为代数图论、密码和编码.

（责任编辑：杨媛媛）