基于时间序列分析的弹道目标进动周期提取

饶 彬 屈龙海 肖顺平 王雪松

(国防科技大学电子科学与工程学院，湖南 长沙 410073)

1.引 言

中段弹道目标识别问题是当前研究的热点[1]。在弹道中段，潜在的威胁目标群以大致相同的速度作惯性飞行，并且来袭导弹通常会采用各种先进的突防手段[2]，这给防御系统的识别带来了极大的技术难题，已经成为制约反导防御系统性能的主要技术瓶颈。目前，在弹道中段，可利用的雷达识别特征有：雷达散射截面积(RCS)、微运动、一维像、二维像、极化等[1]。其中微运动是一类比较重要的特征，例如文献[3]指出美国MD(导弹防御)系统的识别方法即包含微运动特征。

微运动研究包含一类方法，利用RCS、微多普勒、一维像等均可以提取目标的进动周期。其中RCS是最容易获取的电磁散射信息，例如文献[4]、[5]以理论计算公式产生RCS序列研究了弹道目标进动周期的提取方法，但理论公式与实测数据相差甚远；文献[6]研究了外场RCS数据的统计特性；文献[7]通过循环自相关函数(CAUTOC)对进动周期进行估计，该方法能一定程度上改善RCS周期估计的精确性。

纵观现有的基于RCS的进动周期估计方法，绝大部分假设RCS是平稳序列[4-5，7]，进而采用谱分析方法估计进动周期。在较短的时间段内，将RCS看成是平稳的有一定的合理性；但在较长的时间段内，目标的平动角已经发生根本性变化，RCS序列可能会带有趋势项和异方差(方差时变)项，这些干扰项会影响进动周期的提取精度。特别是对于事后分析，往往需要利用较长一段时间甚至整个中段的时间序列对进动周期进行稳健估计，此时再将RCS序列当成是平稳的有失偏颇。本文反演了某型弹道目标的动态全极化RCS序列，仿真表明：其RCS序列具有典型的非平稳性、相关性和拟周期性的特点，利用常规基于平稳序列的谱分析方法的估计效果较差。为此建立了非平稳RCS序列的迭合滤波分解模型进行逐层分解。所提方法能够有效分离数据的非平稳和平稳分量，而其中的平稳分量可以直接用来提取进动周期。

2.动态RCS时间序列分析

2.1 数据的动态反演

由于母舱分离以及诱饵释放时的横向干扰，弹头在中段飞行过程中将不可避免地产生微运动(进动和自旋)。一般来说，一旦弹体分离，弹头的进动角和进动频率是确定的。为了保证弹头以较小的攻角再入大气层，进动角θ通常控制在几度到十几度，进动频率f约为几Hz量级，而进动轴的指向通常被设计为再入时的零攻角方向。

为了获取RCS数据，本文利用微波暗室静态测量数据，动态反演了某实际弹头模型在典型战情下的全极化RCS回波序列。在微波暗室中对该目标进行了全极化、全方位测量。雷达采用步进频测量方式，工作频率范围为8.75～10.75 GHz，步长20 MHz；目标横滚角和俯仰角均为0°；方位角范围0°～180°；方位角步长0.2°；极化状态为水平极化和垂直极化。

弹道目标动态RCS序列仿真的基本步骤为：战情设置、弹道建模与仿真、微运动调制、电波入射角解算、静态测量数据插值、添加观测噪声。具体步骤参看文献[8]。

2.2 数据的初步分析

仿真战情如下：考虑某近程TBM弹道(射程760 km)，中段总飞行时间为370 s.弹头进动频率f=0.5Hz，进动角θ=5°.雷达位于弹道偏向落点的一侧，跟踪数据率为10 Hz.

图1为目标在中段的RCS时间序列(HH通道为例)。由图可知RCS序列的时间起伏特性相当剧烈。直观地感觉到RCS序列的均值和方差均是时变的，初步可以判定该序列是非平稳时间序列。

图1 目标在中段的RCS时间序列(HH通道)

为了检验RCS序列的非平稳性，采用基于逆序数的分段子序列均值和方差进行检验[10]。理论上如果序列为平稳的，则分段子序列的均值与方差应无显著差异。典型战情下的检验结果均拒绝原假设，因此，可以认为弹道目标的RCS序列具有典型的非平稳特性。

图2(a)给出了RCS序列的自相关函数，由图可知，目标在50 s内的自相关系数都在0.7以上，反映出一定的长程相关性，因此，RCS序列应具有某种趋势项。另外，相关函数具有周期震荡行为，反映出RCS时间序列还具有周期性的特点。周期性主要由目标进动引起，但由于目标RCS和电波入射角并不是一一对应的，因此，RCS的周期性并不是很规则(称之为拟周期性)，除了含有进动引起的周期分量外，还有很多寄生频率分量，直接利用功率谱提取进动周期的性能是不佳的(如图2(b)所示，采用自相关法估计功率谱，0.5 Hz的进动频率并不明显)。实际上，由于目标RCS本身为非平稳时间序列，此时再采用基于平稳序列的谱估计方法是不适宜的。

(a) 自相关函数 (b) 归一化功率谱图2 目标RCS序列的自相关函数和功率谱

3.非平稳RCS序列的迭合滤波模型

前述分析表明：弹道目标的RCS序列是一均值和方差都时变的非平稳时间序列。且不同战情条件、不同极化通道、不同阶段的数据演化规律均不太一样。为此，本文根据数据特性进行逐层分解。

3.1 趋势项建模

目标RCS序列σ(t)具有趋势项，该趋势项反映了目标RCS在一段时间内的平均RCS水平。在时间序列分析中，对趋势项一般通过多项式进行建模[10]。本文利用B样条函数进行逼近。B样条基的优点是具有局部支撑特性，而且估计结构更加稳定。

采用r个待估参数进行表征，则时间区间[a，b]上的趋势项可以表示为

(1)

式中：N为小区间个数；Mm(t)为样条基函数[10]；τj=a+jh=a+j(b-a)/N.小区间个数N一般靠经验选取，对式(1)进行最小二乘估计即可得到N+3个估计参数αj.

(a) 趋势项拟合结果 (b) 剩余项图3 RCS序列趋势项建模结果

3.2 波动项建模

h2(t)=κ+G1h2(t-1)+…+Gph2(t-p)+

(2)

式中，e(t)为新息，在GARCH模型中一般认为是平稳白噪声序列。在本文中由于进动项的存在，e(t)的条件可以放宽，可以认为是一时间相关的零均值平稳序列。h2(t)是条件异方差，p，q为GARCH模型的阶数，在实际中应用较多的是GARCH(1，1)模型。

表1 GARCH模型估计结果(HH通道)

(a)

(b)图4 GARCH模型处理结果

3.3 周期项和噪声项建模

通过B样条和GARCH模型双层建模后，剩余部分为归一化新息e(t)，包含周期项和噪声项。至此，原RCS序列的所有非平稳分量已经被分离，而e(t)则保留了目标的进动特征，可以表征为一噪声污染的缓变正弦过程，即

e(t)=A(t)sin[2πft+φ0]+B(t)ε(t)

(3)

式中：A(t)、B(t)均为随时间慢变的确定性函数；φ0为初相；ε(t)为Gauss白噪声过程。

下面证明式(3)等价于一个参数缓变的ARMA(2，2)模型。事实上，将式(3)离散化有

ek=Aksin(2πftk+φ0)+Bkεk

=Aksin(φk)+Bkεk

(4)

式中,φk2πftk+φ0为正弦函数的相位，令 Δφk-1，k=φk-φk-1，则有

ek=Aksin(φk-1+Δφk-1，k)+Bkεk

=Aksin(φk-1)cos(Δφk-1，k)+

Akcos(φk-1)sin(Δφk-1，k)+Bkεk

(5)

注意到

sin(φk-2) =sin(φk-1-Δφk-2，k-1)

=sin(φk-1)cos(Δφk-2，k-1)-

cos(φk-1)sin(Δφk-2，k-1)

(6)

故

cos(φk-1)= sin(φk-1)ctan(Δφk-2，k-1)-

(7)

将式(7)代入式(5)整理可得

ek=Ak[cos(Δφk-1，k)+

ctan(Δφk-2，k-1)sin(Δφk-1，k)]sin(φk-1)-

(8)

注意到

sin(φk-1)=(ek-1-Bk-1εk-1)Ak-1

(9)

sin(φk-2)=(ek-2-Bk-2εk-2)Ak-2

(10)

将式(9)和式(10)入式(8)并整理可得

(11)

令

(12)

(13)

(14)

(15)

则式(11)可重写为

(16)

(17)

对于实际得到的归一化新息e(t)而言，受寄生频率(例如式(3)中频率很可能是多分量的)和未考虑建模因素的影响，不一定是严格的ARMA(2，2)模型，而是多个ARMA模型的叠加，即ARMA(p，q)模型，为此需要根据实测数据对ARMA模型进行定阶。目前常用的准则有最小预报误差(FPE)、最小信息(AIC)及Bayes信息准则(BIC)准则等[10]。本文采用FPE准则对ARMA(p，q)，0≤p，q≤3的情况进行了估计。HH通道定阶结果如表2所示。

表2 FPE定阶结果

由表2可知，各种情况下的FPE都比较小，说明采用ARMA模型是非常合适的，其中较高阶的ARMA(3，3)模型带来的预测误差最小，因此是值得选择的模型。采用非线性最小二乘法对ARMA模型进行估计[10]，得到HH通道的估计参数如下

Φ(B)= 1-1.047B-0.6072B2+

0.831B3

(18)

Θ(B)= 1-1.062B-0.4862B2+

0.701B3

(19)

因为归一化新息e(t)近似为平稳序列，此时采用任何一种功率谱估计方法都可以较好地提取进动周期。例如可以采用经典谱估计方法或基于ARMA模型的现代谱估计方法对进动频率f进行较为精确的估计。图5是归一化新息e(t)的功率谱估计结果(自相关法)，可见，相比图2(b)而言，目标真实的进动周期0.5 Hz已经相当明晰了。

图5 归一化新息e(t)的功率谱

4.结 论

基于微波暗室静态测量数据，反演了某型弹道目标在全极化条件下的RCS序列。分析表明这些时间序列具有非平稳性、相关性和拟周期性的特点。为了刻画RCS序列的时间演化行为，利用B样条函数、GARCH模型和ARMA模型构造了RCS序列的迭合滤波模型。仿真表明：所提方法能够分离数据的快变和慢变分量。其研究成果不仅对于微动特征提取，而且对于弹道目标跟踪和识别评估等领域都是具有重要意义的。

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