随机收入下的对偶风险模型*

彭之光

（重庆大学数学与统计学院，重庆 400044）

1 模型介绍

符号和基本假设与上面一致，该模型即为随机收入的盈余过程.为简单起见，考虑时间间隔服从Erlang（2）分布，收入服从几何分布的对偶模型.

为使模型的破产概率有意义（否则模型必然破产，即破产概率为1），有如下条件:

其中λ1，λ2是Erlang（2）分布的参数，μ是几何分布的期望，λ为前面提到的poisson过程参数:λ=1.

2 关于破产概率的方程

首先引入如下函数和符号［1］:m（u），初始资金为u的破产概率;对于i=0，1，2，S1=W1，S2=W1+W2（Erlang（2）），定义mδ，i（u）=E［e－（τ－t）I（τ＜ ∞ ）|Si=t，U（t）=u］，知m（u）=m0，0（u）=m0，2（u）.对于i=0，根据W1（几何分布）的无记忆性有:

接下来定义如下生成函数，将式（6）两边同时乘以su，并取u=0，1，…，∞的形式，以无穷级数的形式相加有:

在此假设f（i）服从几何分布，取t=u+i+1，则u+1=t－i，其中:

最后，得到下面两个方程:

将这两个方程写成矩阵形式有:

考虑如下方程:

式（10）等价于|A（s）|=0.

定理1 对任意δ≥0，式（11）在单位圆内存在一个根.

证明 设ξ为以α为圆心，以1－α为半径的圆.考虑下面的方程:（sq1－1）（sq2－1）（s－α）=sp2p1（1－α）.

对任意s∈ξ，有:

由儒歇定理，知道:（sq1－1）（sq2－1）（s－α）和sp2p1（1－α）在单位圆内有同样数目的根，易知α不是式（11）的根.可知有一个根ρ在ξ内.

3 函数 mδ，i（0）

到现在为止得到3个方程:

其中m0（0）为当u=0时的破产概率.

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