信息与计算科学专业 《数学分析》教学探索与实践

李家雄 (湖北工业大学理学院,湖北武汉430068)

教育部1998年颁布的新的专业目录中将信息与计算科学列为一个新的数学类专业。这一专业设置不仅较好地适应了新世纪以信息技术为核心的全球经济发展格局下的数学人才培养与专业发展,而且也对数学类专业的招生带来了正面影响。自1999年来,全国已有400多所高等院校注册开办信息与计算科学专业,是全国高校理科专业中最大的专业之一[1,2]。

信息与计算科学专业的培养目标是培养具有良好的数学基础和数学思维能力,掌握信息与计算科学的基础理论、方法和技能,受到科学研究的训练,能解决信息技术和科学与工程计算中的实际问题的高级专门人才。《数学分析》是该专业最重要的一门基础课,如何上好该专业的 《数学分析》课是一个重大而实际的课题。下面,笔者结合信息与计算科学专业的特点,对《数学分析》教学进行了探索与实践❶湖北工业大学教学研究项目 (2010032)。。

1 把握标准,精心处理教材

《数学分析》的有些内容在高中已经涉及,如函数概念和性质、数列极限、导数概念和求导公式、利用导数判断单调性和求极值等,这些内容可采取归纳概括方法予以略讲,但要加深的地方要详细讲解。另外对一些容易理解的内容在课堂上可以略讲或不讲,有意识地留给学生自学,然后可以在一次小测验中又有意识地测验这些内容,再通过及时的反馈机制了解学生自学的情况。这样处理不但在现有课时紧张的情况下提高了课时的有效利用率,而且培养和加强了学生的自学能力。

华东师大主编的 《数学分析》教材已相当全面系统[3],无需作太大的调整与太多补充,只在个别地方作适当补充。如连续函数f(x)在区间I内只有唯一极值点,当取极大(小)值时必为在I内的最大(小)值,笔者在教学时给出了补充证明,因为这个命题对于判定实际问题中的极值是否是最值是很方便。而对于在后续课程中要学习的内容和比较繁杂的内容,如隐函数 (组)存在定理等,只介绍定理的条件和结论,有的甚至可以删去不讲,重在理解和应用,略去其证明。

2 在教学中渗透数学建模思想

1)数学建模思想在概念、定义教学中的融入 如教材中以“ε-N”、“ε-δ”语言给予形式化精确描述的极限概念,由于这种描述高度抽象与概括,造成初学者难以用自已的思想去思考、理解它的含意,只能把它看作是一些干巴巴的数学符号,不加理解地死记它,久而久之就失去了学习的兴趣。为解决这个问题,可引入一些直观的背景材料和方法,如我国古代数学家刘徽的 “割圆术”、某类几何图形按一定规则的变化、一组实验数值的演变、一条坐标曲线上点的变化等,尽可能地向学生展示极限定义的形成过程,挖掘极限定义的实质[4],展示利用 “ε-N”、“ε-δ”语言证明极限问题的解题思路的探讨过程和解题规律的概括过程,从而使学生理解 “极限”这个概念模型的构建过程。若条件允许,利用教学软件演示上述图形或数值的变化过程,既省时又直观,效果更佳[5,6]。

2)在教学中选取相应的数学模型进行案例教学 教学中,根据不同的教学内容,选编相应的数学模型进行案例教学,如表1。

表1 不同的教学内容及相应的数学模型案例

3 体现数学思想,培养辩证思维能力

在 《数学分析》中,ε-δ语言就充满辨证思维方式的色彩,它深刻的思想在于用有限量来描述和刻划无限过程,实现有限与无限之间的矛盾转化[7]。如用ε-δ语言表述函数f(x)当x→x0时存在极限A的定义是:

设f(x)在点x0的某个空心邻域U0(x0;δ′)内有定义,A是常数,若对任给的ε＞0,存在正数δ(＜δ′),使得当0＜|x-x0|＜δ时有:

则称函数 f(x)当x趋于x0时以A为极限。

在上述定义中,一开始就给定了ε可任意小,从而式|f(x)-A|＜ε就体现出f(x)无限逼近于A的趋势,而ε一旦给出,它就成为一个确定的量,ε具有可变与确定的二重性,但并未违背同一律。这正说明辨证逻辑承认事物的同一性,但这种同一只存在于事物运动变化、对立差异之中的原则。

《数学分析》中到处充满着辨证思维的结果。如定积分的产生即是如此,“曲”与 “直”、“变速”与“匀速”等的矛盾,最终归结为有限与无限的矛盾,矛盾的解决在于辨证思想的正确引导。容易看到,由于微积分丰富的辨证思想往往不是呈现在其内容的语言形式上,而是隐含在其概念、命题和推理的整个过程之中,甚至常常被成串的逻辑形式所湮灭,因此,在教学中教师应通过深入揭示事物内部矛盾挖掘辨证思想,通过综合、概括和辨证思维的飞跃式思维方式解决矛盾。长此以往,潜移默化,使学生辨证思维的发展与形式逻辑水平提高相得益彰。

4 积极倡导多媒体技术在教学中的应用

多媒体作为现代化的技术,为数学这一 “思维的艺术体操”提供了一个崭新的 “表演舞台”,使《数学分析》课堂取得了 “效率高、印象深、氛围好、感受新”的明显的正面效应,尤其是多媒体那独特的 “全方位、多视角、多层次、多变化”的立体式的表演功能,使抽象的数学教学成了直观的可操作的 “模拟实验”。但 《数学分析》有其自身特点,在教学中起主导作用的教师,有条有理、生动形象、富有启发性的讲授,重点突出、条理清晰、布局合理的板书,组织指导学生合作交流、启发学生积极思维、引导学生学会学习以及分析、评价学生的学习水平等,是计算机永远不能取代。所以在实际教学中不能不用多媒体技术,但也不能滥用。具体把握的准则是以传统教学手段为主,以多媒体课件为辅。在课堂上课件一般只能用几分钟或十几分钟,重点用来帮助教师讲清楚用其他教具所不能讲清的问题,把一些抽象的理论内容或不易观察清楚的内容通过二维或三维动画形式信息处理和图像输出,表2总结了一些平常教学时需要用到多媒体辅助教学的内容,供大家参考。

表2 一些平常教学时需要用到多媒体辅助教学的内容

5 注重计算能力的培养

《数学分析》是数学专业的一门重要基础课,学得好与坏常作为衡量学生基础是否扎实的一个重要标志,当然也是影响后续课程学习的重要一环。正因为如此,《数学分析》的教学及课程建设在许多学校都受到高度重视[8]。总体上讲,《数学分析》的教学水平是不断提高的,但是也应该看到,在教学中仍存在一些问题,比较突出的就是不是很注重学生计算能力的培养。《数学分析》的传统教学非常注重逻辑推理能力培养,这对纯数学专业的学生而言是非常有用的,但对偏应用的信息与计算科学专业就显得有些过度了。在学时有限的情况下,需要把重心往提高学生的计算能力上移一移,因为在实际调查中笔者了解到,很多后续课程的教师发现信息与计算科学专业的学生计算速度和准确率赶不上工科学生的(关于这一点那些换专业考研的学生也深刻体会到),更何况还有教师反映有些学生在学了 《数学分析》之后连重积分都不会积。这显然对学生整体水平的提高没有任何益处,因此必须结合信息与计算科学专业的培养目标和特点,在教学中不但应该培养学生的逻辑推理能力,而且还要重视计算能力的培养,课堂上增加计算题的讲解,课后加大作业中的计算题训练,在考试中也要多出些计算题。

[1]教育部数学与统计学教学指导委员会数学类教学指导分委员会.关于 《信息与计算科学》专业办学现状与专业建设相关问题调查报告 [J].大学数学,2003,19(1):1-4.

[2]岑仲迪,奚李峰.信息与计算科学专业建设的探索与实践 [J].大学数学,2009,25(3):1-5.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 [M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.

[4]马统一.《数学分析》课程教学的改革与实践 [J].河西学院学报,2009,25(2):103-108.

[5]韦程东,罗雪晴,程艳琴.在数学分析教学中融入数学建模思想的探索与实践 [J].高教论坛,2008,6(3):77-79.

[6]黄敬频.浅谈数学建模思想在数学分析教学中的渗透 [J].广西大学学报(自然科学版),2003,28(S2):21-24.

[7]于妍,李丽锋,唐宏伟.《数学分析》教学方法初探 [J].辽宁教育行政学院学报,2008(1):158-159.

[8]刘荣辉,孙凤芝.数学分析教学方法的改革探讨[J].高师理科学刊,2010,30(1):82-82.