高等代数中一道习题的不同解法

高 英

(重庆师范大学数学学院代数与几何教研室，重庆 400047)

高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变。因此,如何在教学中引导学生在做题的过程中自觉的体会总结，运用本课中常用的方法，并联系所学知识和已证明的习题，就显得尤为重要。

1 预备知识

定义1：在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

引理1：n维欧氏空间的子空间V1的正交补V1┷由所有与V1正交的向量组成。

引理2：在欧氏空间中必存在标准正交基。

引理3：(线性映射的维数公式)设σ是线性空间V到线性空间V1的线性映射，则σ的像空间的维数+σ的核空间的维数=dimV.即σ的秩+σ的零度=dimV。

2 主要结果

教材[1]的习题中有如下一道题：

设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量,

(1) 证明：V1={x/（x，α）=0，x缀V}是 V 的子空间；

(2)证明：V1的维数等于n-1。

问题(1)的证明一般情况下就用子空间的定义证明即可，即对数乘和加法运算封闭。下面主要给出问题(2)的不同证明方法。

证法1:为证明结论首先证明V1是L（α）(表示由向量α生成的子空间)的正交补。

事实上，由引理 1 可知 L（a）┷={x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}，而容易证明：{x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}=V1。

从而 L（α）┷=V1，所以 V=V1+L（α）=V1L（α），因此,由直和的判定定理可知 n=dinV=dimV1=dimL（α）=dimV1+1。

这表明dimV1=n-1

证法2：由引理2可知任意欧氏空间必存在标准正交基，故不妨设 α1，Λ，αn为 V 的标准正交基。 设 α=k1α1+Λ+knαn，其中 k1，Λ，kn∈R 则对坌β=x1α1+Λ+xnαn∈V1，其中 x1，Λ，xn∈R,由α1，Λ，αn为 V 的标准正交基可知（α，β）=x1k1+Λ+xnkn=0.因此,线性方程组 x1k1+Λ+xnkn=0的解就是 V1中的向量在 α1，Λ，αn下的坐标向量，其解空间的维数就是V1的维数。因为α≠0，故（k1，Λ，kn）≠0，从而 x1k1+Λ+xnkn=0 的解空间的维数为 n-1，即dimV1=n-1。

证法3：考虑实数集R按数的加法和数乘在实数域R上构成的的线性空间，定义映射 σ：V→R 为 σ（x）=（x，α），坌x∈V，则易验证 σ 是线性映射，σ 的核空间就是 V1{x/σ（x）=（x，α）=0，x∈R}，σ的像空间为R。由线性映射的维数公式有：σ的核空间的维数+σ的像空间的维数=dimV=n，而σ的像空间的维数=dimR=1,故的核空间的维数=dimV1=n-1，故结论成立。

3 结语

以上利用不同的方法给出了一道习题最终将班集体建设成为和谐、民主、祥和的大家庭。

4 因人制宜，因材施教

想要更好的提高班级管理工作质量，就必须深入了解学生内心需要，了解每一位学生的家庭状况以及社会交往情况，针对每位学生的特长、爱好、性格等建立一套完整的个人档案，并随时观察每位学生的学情状态，为他们分别制定合适的教学目标，必要时开展个别教育。在具体教学中，教师要全方位看待学生，不要仅仅看到学生的优点或缺点，要根据“尺有所短、寸有所长”的原则，看到学生身上的闪光点，比如有的学生比较自信；有的学生集体观念较强；有的学生心态很好；还有的学生具有坚强的意志等。但是人无完人，每位学生身上不可避免的存在一定缺陷，如心理素质较差、容易自大或自负、自控能力差、组织纪律性不强等。班主任教师不能只看到优等生的优点，后进生的缺陷，否则，只能使后进生产生逆反心理，加深了他们的自卑心态，很有可能会从此一蹶不振。因此，班主任教师要因材施教、因人制宜，注重发挥学生的优势，帮助学生改善自身的缺点，促进学生身心的健康发展，提高班级团队的整体素质。

5 坚持“以人为本”的科学发展观

班主任教师要转变自身的教育理念，尊重学生的主体地位，发挥自身的主导作用，看到存在于学生身上的个体差异，认识到个体差异的不同造就了他们不同的思维方式与接受能力，根据他们喜好、习惯的不同，采取个别交谈的方式对他们进行思想教育。要知道，学生是一个个鲜活独立的个体，并不是工厂按照统一标准生产出来的产品，因此，班主任教师除了要对学生进行共性教育以外，还应该特别注重学生之间的个体差异性，运用感情疏导、诚恳交谈等方式，站在朋友的立场上为学生排忧解难，尽量遵循“表扬与启发并用”的原则，让学生理解班主任话语的弦外之音，感受到班主任的一番苦心。这种方式不但有利于化解所有问题与矛盾，还有助于增进学生与教师之间的感情。

总而言之，在当今社会科技发展日新月异的背景下，班主任教师也要不断提高自身道德修多样与专业水平，以适应新社会对教师的更高要求，顺利历史发展潮流。作为班主任教师，要肩负起社会赋予的重要使命，不断改进教学方法、提高自身综合素质、了解学生心理状况，采取因材施教、因人制宜的管理方式，树立教书与育人共进的教学理念，注重调动学生积极性、主动性与创造性的学习精神，全面提高高职学生的综合能力，为其将来的顺利就业奠定基础。

[1]邵娴.浅谈高职班主任的工作艺术[J].吉林省教育学院学报(学科版)，2009，(1).

[2]边巍.高职班主任工作的几点体会[J].科技信息，2009，(35).

[3]臧健.做好高职班主任的几点体会[J].职业技术，2006，(18).