椭圆方程有限差分逼近的混合半迭代法＊

刘 扬 高 飞

（武汉理工大学理学院 武汉 430070）

0 引 言

现代科学技术工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，求解微分方程的数值方法主要有：有限差分方法、有限元法以及有限体积法等.用有限差分法求解椭圆型方程，其差分格式的求解都归结为一个线性代数方程组问题，原则上，数值代数中的方法都适用于求解这类代数方程组.但有限差分法所得到的差分格式的系数矩阵具有一些特殊的性质，如稀疏带状、主对角优势以及不可约性.因此针对这些特点，建立了更加有效的方法，如交替方向迭代法［1］、预处理共轭梯度法［2］以及多重网格法［3］等，这些方法都是迭代法.迭代法具有程序设计简单，适合自动计算，同时还可以充分利用系数矩阵的稀疏性减少内存存贮.因此，迭代法已经成为求解线性方程组，尤其是求解具有大型稀疏系数矩阵的线性方程组的重要方法之一.半迭代法也称Chebyshev多项式加速方法，是求解线性方程组的一个常用且比较有效的方法，它是迭代法的一种.与一般迭代法相比，半迭代法不仅可以提高求解线性方程组的收敛速度，而且可以使一些发散的迭代法收敛.关于半 迭 代 法，许 多 学 者 都 对 此 作 了 研 究［4－8］.Young在文献［1］中，给出了线性方程组的迭代矩阵为对称阵时，半迭代法的收敛性分析.本文利用局部消元法建立求解椭圆方程的十三点差分格式，将Chebyshev多项式加速方法应用于新差分格式，构造了一个混合半迭代法，用数值实验验证新算法的有效性.

1 局部消元法

考虑椭圆型方程第一边值问题

式中：ui，j为式（1）的解u（x，y）在网格点（xi，yj）上的近似解，λ＝4＋ah2，fi，j＝f（xi，yj）.

在Ωh的每一个网格内点（i，j）处都有一个联系于式（2）的几何Stencil.在网格点（i－1，j），（i＋1，j），（i，j－1），（i，j＋1）处，有另外4个差分方程

同样的方法，消去上式中的ui－1，j－1，ui－1，j＋1，ui＋1，j－1，ui＋1，j＋1，可以得到一个更复杂的差分演化格式

到这里，停止消元过程.式（4）所对应的几何Stencil如图1所示，它示出一个十三点差分格式，其局部截断误差与五点中心差分格式一样为O（h2）.

图1 13点差分格式的Stencil

2 混合多项式加速算法

定义Ωh中网格点的集合Lp，称为网格Ωh的层，p是层的标号，

式中：Mij为网格点（i，j）到边界∂Ω的最短欧氏距离.显然，对于Lp（p＝2，3，...，n／2）中任意一点（i，j）都存在一个形如式（4）的差分演化形式，根据式（2）和式（4），可以构造一个Jacobi型迭代算法（JIA算法）如下.

注意到上面算法中在第一层和其他层使用不同的迭代格式.对于任意给定的初始值，Jacobi型算法式（6）和式（7）是收敛的，即当k→∞时.

利用边界条件，计算｜ξ（k）i，j｜在每一层上可以得到的估计式，有

设内点的总层数为r，则r＝n／2，由此得在所有的内点上都有

上式右端项当N→∞时趋于零，故算法收敛性得证.

将式（7）写成矩阵形式

由于JIA算法中第一层上的迭代公式与内层不一致，因此根据Chebyshev多项式加速法构造一个混合半迭代法如下.

步骤1 输入变量ε（误差）的值；令k：＝1.

步骤3 计算

Else k：＝k＋1；goto步骤3.

注意到新算法中，第一层网格点的计算仍使用经典的Jacobi迭代，而内层网格点的计算使用多项式加速技术.之所以在第一层和内层网格点上使用不同的迭代格式，主要原因有两点：第一JIA算法中第一层和内层使用了不同的迭代格式；第二在实际的数值计算中，外层的误差比内层收敛快.由于JIA算法的系数矩阵是对称的，因此本文构造的混合迭代算法是收敛的.

3 数值实验

为了验证新迭代算法的有效性，考虑一个模型方程如下

式（10）的解为

取步长h＝1／100，比较Jacobi方法、JIA算法、Jacobi半迭代法、混合半迭代法在所有内点上达到相同误差精度所需要的时间，结果见表1.

表1 迭代时间比较 s

所有结果在IBM电脑，CPU频率为1.6G的计算机上计算得到.数据结果表明：Chebyshev多项式加速方法能有效的加快迭代法的收敛速度，同时本文构造的混合半迭代法的收敛速度比Jacobi半迭代法约快一倍.

4 结 论

本文利用局部消元法构造了求解一类椭圆型方程的十三点差分格式，并结合五点差分格式建立了一个Jacobi型迭代算法.然后根据Chebyshev多项式加速方法构造了一个混合半迭代算法.新算法在第一层上仍然使用经典的Jacobi迭代，而在内层上使用多项式加速方法.数值实验表明，新算法比Jacobi半迭代法收敛快.本文的算法和思想也可用于求解其他类型的偏微分方程.

［1］Young D M.Iterative solution of large linear system［M］.New York：Academic Press.，1971.

［2］Young D M.Iterative methods for solving partial differential equations of elliptic type［J］.Trans.Amer.Math.Soc 1954，76：92－111.

［3］Bramble J H.Multigrid methods［M］.Harlow：Longman Group UK Limited，1993.

［4］Climent J J，Neumann M，Sidi A.A semi－iterative method for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index［J］.Comput.Appl.Math.，1997，87（1）：21－38.

［5］Eiermann M，Li X，Varga R S.On hybrid semi－iterative methods［J］.SIAM J.Numer.Anal.，1989（26）：152－168.

［6］Hadjidimos A，Stylianopoulos N S.Optimal semi－iterative methods for complex SOR with results from potential theory［J］.Numer.Math.，2006，103（4）：591－610.

［7］Rayes M O，Trevisan V，Wang P S.Factorization properties of chebyshev polynomials［J］.Comput.Math.Appl.，2005，50（8）：1 231－1 240.

［8］Belforte G，Gay P，Monegato G.Some new properties of chebyshev polynomials［J］.J.Compu.Appl.Math.，2000，117（2）：175－181.