基于输出反馈的一类随机时滞系统的稳定性

刘文奇， 焦贤发

（合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009）

近年来，随机系统的稳定性一直被广泛研究，随机系统常见于众多的工程系统与生物系统中。另外，时滞是众多生物过程的固有属性，通常会导致一个控制系统不稳定或者其他一些不好的指标出现，因此时滞系统得到了广泛研究［1－8］。文献［1］基于状态观测器的输出反馈研究了一类线性随机时滞系统的稳定性；文献［3］基于状态反馈研究了一类线性随机时滞系统的随机稳定性；文献［5］中采用状态反馈的方法，研究了一类不确定性随机时滞系统的鲁棒Η∞控制问题。考虑到在物理现实上的意义，本文采用输出反馈条件下，保证闭环系统在一切可容许的不确定性干扰下随机稳定，同时设计出了满足要求的反馈增益矩阵。

1 系统描述及假设

记（Ω，F，P）为一个完备概率空间，w（t）是定义于该空间上的一维标准布朗运动，所考察不确定性随机时滞系统如下：其中，x（t）∈Rn为系统状态；u（t）∈Rn为控制输入；y（t）∈Rm为系统量测；φ（t）为定义于区间［－τ，0］上的一个向量初始连续函数，不确定参数矩阵A（t）、Ad（t）、C（t）、Cd（t）都是时变的，满足：

其中，A、Ad、C、Cd、B、D是适当维数的实常数矩阵，且矩阵B是列满秩的。不失一般性，假设不确定参数矩阵ΔA（t）、ΔAd（t）、ΔC（t）、ΔCd（t）是范数有界的，且满足：

其中，M1、M2、N1、N2是适当维数的实常数矩阵，F（t）是不确定时变矩阵，满足：

引理2 由文献［6］，则有：

（1）给定相应维数的矩阵M、N、H，其中M、N为常阵，H可为t的函数，且HTH≤I，则对于∀μ＞0，都成立MHN＋NTHTMT≤μMMT＋μ－1NTN。

（2）给定相应维数的矩阵X、Y，对于∀μ＞0，都成立XYT＋YXT≤μXXT＋μ－1YYT。

定义1 称不确定时滞系统（1）～（3）随机稳定，若对于定义于区间［－τ，0］上的有限向量函数φ（t）∈Rn，系统状态满足：

2 主要结果

对于系统（1）～（3），引入输出反馈

代入（1）式得：

定理1 对于给定反馈增益矩阵L，若存在正定矩阵P＞0，Q＞0，和正实数μ1、μ2，使得：

则闭环系统（1）～（3）是随机稳定的，其中

证明 对于t≥0，构造Liapunov函数：

由伊藤微分公式，李雅普诺夫函数的微分为：

经过计算并整理后得：

由引理2得：

结合（9）～（13）式有：

由定理1中（8）式及引理1可得Φ＜0，对任意非零向量有：

由（14）式可得：

对任意向量x（t），存在正实数ε使下式成立：

故由Dynkin＇s公式，对所有的t≥0，有

即

综上及定义1知闭环系统（1）～（3）随机稳定。

从定理1易知，要使受控系统（1）～（3）随机稳定，必须选择适当的反馈增益矩阵L，定理2将给出满足定理1中（8）式的一些L的具体表达式。

定理2 若存在矩阵P＞0、Q＞0、Y和正实数μ1、μ2，使得：

则在增益矩阵L满足PBL＝Y的情况下，闭环系统（1）～（3）随机稳定。其中

证明 在（18）式中令Y＝PBL，则（18）式转化为：将Π＝P［A＋Y］＋［A＋Y］TP＋（μ1＋μ2）［PM1＋YM2］［PM1＋YM2］T＋DTPD＋Q代入（19）式，则该式转化为（8）式，结合定理1的结论知闭环系统（1）～（3）随机稳定。

由于矩阵B是列满秩的，根据Y＝PBL可以解出L的具体表达式，从而可构造出容许的输出反馈控制，使得受控系统（1）～（3）随机稳定。

3 数值例子

基于定理2，给出状态反馈控制系统（1）～（3）的一个二维的数值例子。各系数矩阵如下：

取μ1＝0.5，u2＝0.5，Q＝I，

由数值结果，结合定理2知：在输出反馈u（t）＝Ly（t）的作用下，随机时滞闭环系统（1）～（3）是随机稳定的。

4 结束语

本文针对一类不确定随机时滞系统，基于输出反馈控制，得到闭环系统随机稳定的充分条件，给出的定理保证了闭环系统在一切容许不确定干扰下是随机稳定的，同时设计出了满足要求的反馈增益矩阵，数值例子验证了方法的可行性。

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