有限群直积的自同构群

2011-03-19雒晓良

山西大同大学学报(自然科学版) 2011年4期

秦鑫，雒晓良

(吕梁学院数学系,山西离石033000)

有限群的自同构群是群论中一个重要而又困难的研究课题,目前十分活跃。由于有限群自同构群研究的困难性和复杂性,往往需要从研究一些特殊群的自同构群入手。由Bidwell,Curran,Mc－Caughan三人合作在2006年发表的文献[1]中,研究了两个有限群直积G=H×K的自同构群,定义了A,B,C,D的四个特殊子群,满足

并且证明了一个重要结果(即文献[1]中定理3.2和定理3.6):如果H和K没有同构的直因子，则AutG=ABCD。

然而,文献[1]并没有彻底解决AutG=ABCD的判别问题,仅仅是给出了一个充分条件。本文在文献[1]的基础上,继续研究群直积的自同构群;通过深化自同构的矩阵表示技术,得到了一个简明的充要条件。

最后,我们对本文所使用的群论符号作一些说明,与文献[1]略有不同。

设φ∶H→K为群同态,本文采用群论中通常的记法,将h∈H在φ下的像记为hφ;从H到K的所有群同态构成的集合记为Hom(H,K);用EndH表示H的自同态集合。当K为交换群时,熟知Hom(H,K)在同态的加法运算下构成一个群,其零元为零同态0,而φ∈Hom(H,K)的负元-φ,则定义为h-φ=(h-1)φ=(hφ)-1。

此外,如无其它说明,本文所使用的其余符号都是标准的,可参考文献[2]或文献[3]。

1 基本引理

首先给出两个有限群的直积的自同构之矩阵表述。

设H和K均为有限群,令

为相应的群直积,熟知G中的群运算按如下分量定义:

任取φ∶G→G为G到G的一个映射，令

则映射φ唯一确定了四个与其相伴的映射:

简单起见,可将其记为矩阵形式:

使用该矩阵记号,在文献[1]中首先给出了φ为G的自同态的一个刻划。

引理1[1]φ∈EndG当且仅当与其相伴的映射α,β,γ,δ满足下述六个条件:

(1)α∈EndH,

(2)β∈Hom(H,K),

(3)γ∈Hom(K,H),

(4)δ∈End(K),

(5)[lmα,lmγ]=1，即α和γ的像在H里相互中心化，

(6)[lmβ,lmδ]=1，即β和δ的像在K里相互中心化。

方便起见,当上述映射φ为群G的自同态时,在本文中我们直接记

称之为φ的矩阵表示,其中映射α,β,γ,δ满足引理1中的六个条件。此时,对任意h∈H,k∈K，注意到在G中有 (h,k)=(h,1)(1,k)，按φ的矩阵表示之含义,再记

即自同态φ在元素 (h,k)∈G上的取值在形式上与通常的矩阵乘法运算相一致。事实上,直积的任意两个自同态的合成在形式上也符合通常的矩阵乘法运算规律。

引理2[1]设G=H×K为群的直积,任取G的两个自同态

则自同态的合成 φφ′∶→ (gφ)φ′的矩阵表示为

进而,为了描述直积G=H×K的自同构,在文献[1]中考虑了四个特殊形状的映射矩阵:

引理3按上述四个映射φ1∶G→G的矩阵记法,则

(1)φ1为G的自同构当且仅当α∈AutH,

(2)φ2为G的自同构当且仅当β∈Hom(H,Z(K)),

(3)φ3为G的自同构当且仅当β∈Hom(K,Z(H)),

(4)φ4为G的自同构当且仅当γ∈AutK。

证明根据引理1及引理2中的自同态矩阵表示及其乘法运算规则直接验证。

为了使用本文的主定理推导文献[1]中定理3.2和定理3.6,我们需要引用在文献[1]中§2预备结果的一个引理。方便起见,我们引入一个记号:如果X为群,θ∈EndX为X的一个自同态,则记CX(θ)={x∈X｜xθ=x}为自同态θ在群X中的所有不动点构成的集合,显然为X的一个子群,称之为θ在X中的不动点子群。

引理4设G=H×K为有限群的直积,任取φ∈AutG,设φ和φ′的矩阵表示分别为

如果H和K没有同构的直因子,则下述结论成立:

(1)βγ′∈EndH，且 GH(βγ′)=1,

(2)γβ′∈EndK，且 GK(γβ′)=1。

证明此即文献[1]中推论2.8的一个等价表述。

2 主要结果及证明

设H和K为任意两个有限群,令G=H×K为直积。方便起见,我们往往约定H和K均为G的子群,即将该直积视为内直积。定义

按上一节预备知识的说明,根据自同构的矩阵表示,我们已知上述四个群均为AutG的子群,并且还满足性质:AD=A×D可正规化B和C。方便起见,我们称这四个群A，B，C，D为与群直积G=H×K相伴的自同构群。

定理1设G=H×K为两个有限群的直积,相伴的自同构群A，B，C，D如上定义,则AutG=ABCD当且仅当对每个φ∈AutG,均有Hφ∩K=1。

证明(充分性)任取 φ∈AutG,按假设 Hφ∩K=1。设φ的矩阵表示为

因为φ也是G的自同态,故上述映射α,β,γ,δ也满足引理1中的六个条件。特别地,这四个映射均为群同态。我们将分以下几步完成充分性的证明。

(1)验证α∈AutH:因为α为H的一个自同态,故只需验证α为双射即可。任取h∈H,如果hα=1，按映射矩阵的定义, 则 hφ=hαhβ=hβ∈K, 即 hφ∈Hφ∩K。故从所给的条件Hφ∩K=1得到hφ=1。但φ为自同构,只有h=1,表明α为单同态。又因为H为有限群,故α也是双射,从而为H的一个自同构。

(2)验证δ∈AutK:如果某个k∈K满足kδ=1,则按 φ 的矩阵表示之定义得到 kφ=kγkδ=kγ∈H,即kφ∈H∩Kφ。根据所给的条件:对每个 ψ∈AutG,均有 Hψ∩K=1。现在令 ψ=φ-1, 则 Hφ-1∩K=1,两边作用φ得到H∩Kφ=1,据此推出kφ=1。但φ为G的自同构,迫使k=1。按上述说明,δ为K的自同态,故亦为单同态。同样从K为有限群推出δ也是K的一个自同构。

(3)验证Imβ⊆Z(K):根据(2)可知δ为K的自同构,故其像Imδ=K。但从引理1可知 [Imβ,Imδ]=1,表明Imβ可中心化K的每个元素,即Imβ⊆Z(K)。

(4)构造自同构ψ∈B:由(1)可知α∈AutH,故可令 β′=α-1β,即 β=αβ′。因为 β 为群同态, 故 β ∶H→K也是一个群同态。由(3)可知Imβ⊆Z(K),所以β′∈Hom(K,Z(H))。但后者构成一个加法群,故β的负元-β∈Hom(K,Z(H))。令

根据引理3,(2)可知ψ为G的一个自同构,显然ψ∈B。再根据引理2,按矩阵的形式乘积可计算出自同构的合成φψ之矩阵表示:

其中记 δ′=γ(-β′)+δ=-γβ′+δ。

(5)验证δ′∈AutK:因为φψ也是G的自同态,故其矩阵表示中的映射仍满足引理1中的六个条件,特别地,从引理1,(4)推出δ′∈EndK为K的自同态。任取 k∈Kerδ′，即 kδ-1=1,则 kφψ=krkδ′=kγ∈H。但 hφψ=hα∈H,∀h∈H,表明 Hφψ∈H, 故 k∈H(φψ)-1=H。又因为H∩K=1，只有k=1,即δ′为单同态。同样从K为有限群又可推出δ′为K的自同构。

(6)构造自同构ρ∈C:仍从(1)可知α∈AutH,故可令 γ′=γα-1，即 γ=γ′α。再用引理 1,(5) 可知[H,Imγ]=[Imα,Imγ]=1，从而 Imγ⊆Z(H),故 γ∈Hom(K,Z(H))。显然 Z(H)α=Z(H),所以 γ′=γα-1∈Hom(K,Z(H))。熟知后者为加法群,故 γ′的负元-γ′∈Hom(K,Z(H))。设

则从引理3,(3)可知ρ也是G的一个自同构,按定义显然ρ∈C。

(7)验证AutG=ABCD:仍按引理2中的形式矩阵乘法运算得到

其中最后一个等式成立是因为(1)和(5)分别保证了α∈AutH和δ′∈AutK。再按自同构群A和D的定义可知 ρφψ∈AD。但从(4)和(6)分别看出 φ∈B和 ρ∈C,而B和C均为AutG的子群,所以φ∈ρ-1(AD)ψ-1⊆C(AD)B。再由φ∈AutG的任意性,推出AutG=CADB。注意到AD=A×D可正规化B和C,所以(AD)B为子群,故从C(ADB)=AutG为群又可推出C(ADB)=(ADB)C。显然从D可正规化B和C推出DB=BD且DC=CD,最终得到需证的AutG=ABCD。

(必要性)如果AutG=ABCD,按上段同样的理由,从AD=A×D正规化B和C可推出AutG=C(AD)B。任取φ∈AutG,按A,B,C,D的定义,可设

此即自同构φ的矩阵表示,其中

任取k∈Hφ∩K,则可令k=hφ,其中h∈H。按φ 的矩阵表示之含义,可知 hαhαβ=hφ=k∈K。但 hαβ=(hα)β∈Imβ⊆K，迫使 hα∈H∩K=1，亦即 hα=1。根据自同构群A中的元素描述,可知α为H的自同构,又可推出h=1,从而k=hφ=1,表明Hφ∩K=1。证毕。

使用自同构的矩阵表示,可得定理1的另一个等价形式:

定理1′ 设G=H×K为两个有限群的直积,则AutG=ABCD当且仅当对任意

均有α∈AutH,或均有δ∈AutK。

证明任取hφ∈Hφ∩K,其中h∈H,则按 φ 的矩阵表示之含义,可知 hφ=hαhβ, 所以 hα∈H∩K=1，即k∈Kerα。据此推出 Hφ∩K⊆(Kerα)φ，不难看出该推导过程可逆,即反包含关系也成立,表明Hφ∩K⊆(Kerα)φ。所以 Hφ∩K=1,当且仅当 α 为单同态, 后者又等价于α为自同构,使用定理1即得所证。

同理,任取 k∈Hφ-1∩K, 按定义有 kφ=kγkδ∈H。但 kγ∈H, 故 kδ∈H,即 kγ∈H∩K=1,等价于 k∈Kerδ。所以 Hφ-1∩K⊆Kerδ,同样可看出该推理过程可逆,故反包含关系也成立,据此得到Hφ-1∩K⊆Kerδ。所以 Hφ-1∩K=1当且仅当δ为单同态,又当且仅当δ为自同构。注意到φ-1可随φ取遍AutG的所有元素,再使用定理1即可完成所证。证毕。

使用文献[1]中的一个引理(即本文引理4)可从定理1′直接推出文献[1]中定理3.2和定理3.6:

推论1设G=H×K为两个有限群的直积,如果H和K没有同构的直因子,则AutG=ABCD。

证明任取φ∈AutG,设φ和φ-1的矩阵表示分别为