正交面齿轮齿面方程及三维建模仿真的研究

魏永庚,王中鲜,单 勇

(黑龙江大学机电工程学院,哈尔滨 150080)

0 引 言

面齿轮的传动原理是渐开线直齿圆柱齿轮和圆锥齿轮相互啮合传动,当两个齿轮轴线之间夹角90°时,圆锥齿轮的轮齿将分布在一个圆平面上,锥齿轮即为面齿轮,从而泛称为面齿轮。一般情况下,根据面齿轮加工时刀具轴线与被加工面齿轮轴线之间的关系分为垂直相交、非垂直相交、偏置垂直交错和偏置非垂直交错4种情况,而分别称为正交面齿轮、非正交面齿轮、偏置正交面齿轮和偏置非正交面齿轮。由于结构形式的变化,面齿轮齿面的几何形状已不是常见的渐开线齿面或其它常见的齿面,其齿面形状相当复杂。

目前,直升机传动系统中的主减速器的结构一般采用锥齿轮传动,锥齿轮传动有如下缺点:与圆柱齿轮相比,其结构尺寸大,重量大;由于属于交错轴结构,在加工和装配中如果出现误差,在运行时会产生空间三向正交力,受力不均匀,噪声高;相交轴之间的关系很难调整,装配复杂;寿命短,受力不均匀会导致锥齿轮的加速磨损。使用面齿轮具有如下优点:在润滑油不充足时也能保证有效的工作;装配的时间短,中间的圆柱齿轮采用单端支撑,可有效的调整装配关系;由于中间的圆柱齿轮采用单端支撑,因此与它啮合的面齿轮不受轴向力,或者很小;重合系数大,并且是倾斜接触,因此运动平稳,从而可降低噪声;与传统的结构相比减轻了重量。由于与传统的锥齿轮相比,面齿轮具有如上优势,因此很多企业、公司和科研院所都投入很大精力从事面齿轮的研究。

1 正交面齿轮齿面方程

1.1 圆柱齿轮和面齿轮运动坐标系

要生成面齿轮的齿面方程,一般情况下是采用已知与面齿轮共轭的直齿圆柱齿轮作为刀具,并采用插齿法,加工出其齿面,所以把刀具看成是与面齿轮啮合的直齿圆柱齿轮,根据直齿圆柱齿轮和面齿轮的运动关系,利用直齿轮齿廓曲面作为产形面,通过包络运动得到面齿轮齿廓,其坐标关系见图1。SmXmYmZm是圆柱齿轮的静坐标系, S′mX′mY′mZ′m是圆柱齿轮的随动坐标系,圆柱齿轮绕轴OmZm旋转,角速度为ωm;SfXfYfZf是面齿轮的静坐标系,S′fX′fY′fZ′f是面齿轮的随动坐标系,面齿轮绕轴OfZf旋转,角速度为ωf;圆柱齿轮和面齿轮的运动关系决定圆柱齿轮静坐标系中OmXmZm平面和面齿轮静坐标系中OfXfYf平面平行,且相距高度为圆柱齿轮齿顶圆半径ra,平面OmXmYm和平面OfYfZf相互平行且距离为d,同时参数d随圆柱齿轮和面齿轮运动关系的改变而改变。图2为直齿轮和面齿轮运动关系示意图。

1.2 直齿圆柱齿面和面齿轮齿面的坐标转换

要获得面齿轮的齿廓,需要从圆柱齿轮的坐标系逐渐变换过去。直齿圆柱齿轮齿廓曲面是包络过程中的母面(在实际加工中即是刀具齿面),其坐标系以及各参数设定见图3。图中rb为圆柱齿轮基圆半径;m为圆柱齿轮模数;z为齿数;α为分度圆压力角;rk为齿廓上任意一点k处的矢径,rk= rb/cos αk,αk为k点处压力角;θk为rk与y轴的夹角,

由图3可见,若是θk无限的增大,则此时所得的齿廓必定是相交的,即出现尖顶,这不符合实际需求。在后面可以通过面齿轮齿顶变尖以及齿廓根切等限制条件来约束θk值。

因此产形面方程为:

图3 直齿圆柱齿轮齿面Fig.3 Involuting spur gear surface profile

式中uk为圆柱齿轮齿宽方向参变量;xm0取 “+”时为左齿廓,xm0取 “-”时为右齿廓。

所以,产形面齐次矩阵为:

式中 xm0为产形面在圆柱齿轮静态坐标系SmXmYmZm中的x坐标;ym0为在圆柱齿轮静态坐标系SmXmYmZm中的y坐标;zm0为在圆柱齿轮静态坐标系SmXmYmZm中的z坐标。

在实际的包络过程中,面齿轮发生自转,圆柱齿轮既发生自转同时还绕着面齿轮轴线旋转,包络过程中,圆柱齿轮从动坐标系S′m到静坐标系Sm的齐次转换矩阵为:

式中φ2为圆柱齿轮转角。

从坐标系Sm到Sf的齐次转换矩阵为:

式中d为两静坐标系原点的水平距离,即是面齿轮沿齿宽方向的齿宽中点到面齿轮中心的距离;ra为圆柱齿轮的齿顶圆半径。

从坐标系Sf到Sf′的齐次转换矩阵为:

式中φs为面齿轮转角。

通过以上3次坐标转换,已经将圆柱齿轮上的坐标转换到了面齿轮的动坐标系中,因此包络过程中坐标系齐次转换矩阵为:

式中Mf′f为坐标系Sf到Sf′的齐次转换矩阵;Mfm为从坐标系Sm到Sf的齐次转换矩阵;Mmm′为从动坐标系S′m到Sm的齐次转换矩阵;Mf′m′包络过程中总变换矩阵。

产形面经过坐标变换后,得到产形面的坐标系面族方程为:

式中Rm为产形面坐标组成的矩阵;Rmz为产形面经过坐标变换后组成的矩阵。

1.3 正交面齿轮齿廓方程

依据上一节所得的产形面的面族方程,根据几何啮合原理,再满足下列啮合条件方程即能够得出面齿轮的齿廓方程:

式中αk为产形面点的渐开线压力角;uk为圆柱齿轮齿宽方向参变量;φ2为圆柱齿轮的旋转角度。

在此式中依据αk、uk以及φ2在圆柱齿轮产形面中的位置关系,再依据向量叉乘时的右手定则,可以判断出和有垂直的关系,进而得出关于面齿轮的齿面方程的限制条件。从而能够获得面齿轮齿廓矢量方程:

转化为参数方程为:

式中φ2=q2sφs,q2s=N2/Ns;φθ=φs±(θs o+θs), θs为刀具渐开线上一点的角度参数,θso为刀具齿槽对称线到渐开线起始点的角度参数,N2,Ns分别为面齿轮和圆柱齿轮的齿数。

2 正交面齿轮三维建模

根据面齿轮齿面方程可知,其中变量较多,因此三维建模比较复杂。本文采用与工作齿面相切的曲面代替面齿轮齿廓方程,进而实现了面齿轮的参数化建模。由于面齿轮的齿宽受到限制,本文采用的面齿轮大端与小端半径范围参考文献 [1-2]。

启动Pro/E软件,采用建立方程式的方法对面齿轮进行建模,在程序编辑器中输入面齿轮的相关参数:刀具齿轮模数,面齿轮齿数,刀具齿轮齿数,刀具齿轮压力角,面齿轮大端半径,面齿轮小端半径,齿顶高系数,顶隙系数。保存后输入参数值,这里取面齿轮的相关参数为模数M=5,刀具齿数NS=20,面齿轮齿数 N2=100,压力角为20°,面齿轮大端半径DW=285,面齿轮小端半径DN=245,齿顶高系数取1,顶隙系数取0.25,根据面齿轮的工作齿面方程可计算出齿廓曲线方程,这里将方程 (10)中的y值固定为大端半径和小端半径,此方程存储在记事本中,如下所示:

重复以上步骤输入其它3条齿廓线方程,从而获得面齿轮齿廓线,面齿轮的另一面齿廓曲线可由镜像得到。由面齿轮插齿加工原理可得,面齿轮轮齿在沿着轴线方向(即上、下底面)均为平面,前后侧面(即靠近面齿轮内径和外径处的面)均为圆柱面。为了实现面齿轮的参数化,这里过渡曲面采用了与工作齿面相切的曲面,在草绘命令下做与面齿轮齿廓线的相切线,然后利用边界混合工具生成曲面,重复使用边界混合工具生成面齿轮的其它齿面,再将曲面两两进行合并,再实体化,就得到面齿轮的一个轮齿。通过阵列命令可得到所有轮齿,最终得到面齿轮实体模型面见图4。

图4 面齿轮的三维模型Fig.4 3D model of the face gear

3 结 语

本文深入研究了面齿轮运动原理,推导了正交面齿轮的齿面方程,同时利用Pro/E中的二次开发工具,实现了面齿轮的参数化设计,减少了设计人员的工作量与时间。利用本文的方法建立的模型与实际面齿轮模型相似,此方法同样适用于其它类型面齿轮的参数化,提高了面齿轮的设计效率。

[1]李政民卿,朱如鹏.基于包络法的正交面齿轮齿廓尖化研究[J].中国机械工程,2008,19(9):1 029-1 032.

[2]李政民卿,朱如鹏.正交面齿轮齿廓的几何设计和根切研究[J].华南理工大学学报:自然科学版,2008, 36(2):78-82.

[3]朱如鹏.面齿轮传动的啮合特性研究 [R].南京:南京航空航天大学,2000.

[4]杨连顺.正交面齿轮的啮合特性与强度的计算机辅助分析[D].南京:南京航空航天大学,2001.

[5]F.L.Litvin.Application of face gear drives in helicopter transmissions[J].T ransaction of the ASM E, Journal of Mechanical Design,1994,116:672-676.

[6]尤绍君,张艳冬.基于Pro/E的正交面齿轮参数化建模研究[A].机械技术史及机械设计 (7)——第七届中日机械技术史及机械设计国际学术会议论文集[C].2008.217-221.