平面杆系结构稳定问题的常微分方程解法

徐杏华 肖 孟 李 朝

(1.孝感学院城市建设学院,湖北孝感 432000;2.武汉市建筑工程质量监督站,武汉 430015;3.长春市轨道交通集团有限公司,长春 130012)

在结构设计中,需要对结构进行强度验算和稳定验算,然而对于以受压为主的结构来说,其结构更容易失稳.压杆作为结构失稳的典型代表,它的失稳轻则引起构件失效,重则引起整个结构的破坏,造成严重的事故.在压杆稳定问题研究方面,楚中毅等[1-2]对稳定问题的精确解法做了一些探讨,龙驭球[3]也从不同角度总结了稳定问题的各种解法.然而对于无限自由度杆系结构线性稳定问题,解析法求解的精度往往与其计算时所选取的挠曲线的函数形式有很大的关系,利用普通结构力学的方法根本不能得到精确解[4],而采用常规有限元法,往往需要对网格进行细分,这样做不仅计算量大、计算效率低,而且结果也不够精确.

随着常微分方程(Ordinary Differential Equa-tion,简记作ODE)数值解法的发展,尤其是近10年来一系列常微分方程求解器(Ordinary Differential Equation Solver)通用程序相继问世[5-7],使直接针对结构稳定问题的数值解析法成为可能.对于一般的平面杆系结构,常微分方程求解器不仅可以给出精确的临界荷载和相应的失稳变形形态,而且还可以给出高阶失稳荷载和形态.本文推导出了无限自由度压杆稳定问题的控制微分方程,算例结果与解析解的比较表明该方法的求解精度和效率较高.

1 压杆的挠曲线方程

1.1 控制微分方程的推导

考虑图1所示的最具一般性的压杆,其支撑端可以同时受3个力作用,即:压力P,约束反力R和约束力偶矩M0,相应的弯矩方程为

图1 压杆受力状况

1.2 不同约束条件下压杆的边界条件

1.3 控制方程的标准化

由于常微分方程求解器是按照标准的ODE形式研制的,只具有求解标准的非线性常微分方程问题的功能,不具有直接求解特征值问题的功能[5].因此对于上述关于边值问题的常微分方程组的特征值问题,应该利用一些ODE变换技巧将其转换为COLSYS[7-8]所能接受的标准非线性常微分方程形式.为此需做以下工作:

图2 两端铰支

图3 一端自由一端固定

(2)构造平凡ODE:为将特征值转化为标准的非线性ODE问题,需要为待定的特征值建立一个平凡ODE,从而保证λ为常数的前提下,将它引到ODE中求解.即

(3)构造等价ODE:将一重积分问题转换为一阶常微分方程问题,以便于COLSYS求解,即取振型归一化条件为

这一归一化条件相当于将Rayleigh商中的分母取为单位值,对上式(4)进行坐标变换后,有

再利用等价的ODE技巧将以上积分式转换为标准的ODE问题

这样既可以计算定积分求解上式,又可以将某些积分条件(如归一化条件)化为等价的ODE提法而加入原问题求解.于是式(2)、式(3)、式(6)便形成了一组标准的非线性的常微分方程组,在进行计算时,只要用户提供一个适当的初始解,就可直接利用标准的常微分方程求解器的非线性功能进行求解.

2 算例与计算结果分析

算例1 图4所示为一底部固定的阶梯形变截面柱,其下半柱的刚度为EI1=2.5×106N◦m2,上半柱的刚度为EI2=s◦EI1,其中,s为一比例系数, l1=l2=l/2=15 m,求其临界荷载.

此变截面的临界荷载可按以下步骤进行计算:

首先利用区间映射技巧作坐标变换,将两段区间映射为标准的单位区间[0,1].

图4 变截面柱

于是有

经坐标变换后,此变截面压杆的挠曲线方程可转化为

式中,λ=P,Y=Y(ξ),()′=d()/dξ.

构造平凡ODE,即

构造等价ODE:将一重积分问题转换为一阶常微分方程问题,以便COLSYS求解,即取振型归一化条件为

对上式进行坐标变换后,有

再利用等价的ODE技巧将以上积分式转换为标准的ODE问题

于是式(7)、式(8)、式(11)便形成了一组标准的非线性的常微分方程组,可直接利用标准的常微分方程求解器进行求解.

图5为s=0.1,0.5,1.0时用常微分方程求解器求得的3种情况时的临界荷载及相应的失稳形态图.

算例2 图2、3所示为等截面中心受压的两端简支和一端自由一端固定的压杆,其EI=2.5×106N◦m2,求其临界荷载.

图5 s=0.1,0.5,1.0时的临界荷载以及相应的失稳形态

表1为两端简支长度分别为10m,20 m,30m的压杆相应的临界荷载;表2为一端自由一端固定长度分别为10m,20m,30m的压杆相应的临界荷载.

表1 两端铰支时的临界荷载

表2 一端固定一端自由一端固定时的临界荷载

3 结 语

通过对计算结果分析,可以得出以下结论:

(1)从表1、2可以看出:本文ODE解与解析法计算的结果吻合性较好,实际上,这种ODE解法只用了3次迭代就达到了较高的精度,表明该方法的求解精度和效率较高.此外,该方法还具有使用方便、计算量少、收敛速度快等优点.

(2)在进行压杆设计时,应尽量减小压杆的长度以提高其稳定性.

(3)改善杆端的约束,如将一端固定一端自由的压杆改为两端铰支的压杆后,其临界力有显著的提高.

(4)从图5可以看出,s越大,临界荷载就越大.因此,当压杆杆端各个方向的约束条件相同时,应选择惯性矩较大的横截面压杆.

[1] 楚中毅,等.梁杆结构稳定性分析的一种精确有限元方法及其优化[J].建筑机械,2001,9(14):68-72.

[2] 楚中毅,陆念力,车仁炜,等.一种梁杆结构稳定性分析的精确有限元法[J].哈尔滨建筑大学学报,2002,4(5): 25-28.

[3] 龙驭球,包世华.结构力学[M].北京:高等教育出版社, 1999.

[4] 任凤鸣,范学明.弹性压杆稳定问题的精确解法[J].建筑科学,2008,24(3):12-14.

[5] 包世华.结构力学Ⅱ[M].北京:高等教育出版社,2001.

[6] 包世华,周 坚.薄壁杆件结构力学[M].北京:中国建筑出版社,1991.

[7] Ascher U,Christiansen J,Russell R D.Collocation Software for Boundary-value ODE[J].ACM Trans Math Software,1981,7(2):209-222.

[8] A scher U,Christiansen J,Russell R D.Algorithm 569,COLSYS:Collocation Sof tware for Boundary-value ODEs[J].ACM T rans Math Sof tware,1981,7(2): 223-229.