中短途公路与铁路竞争下动态火车票价制定问题＊

孙春丽 陈森发

（东南大学系统工程研究所 南京 211189）

0 引 言

从中国近几年交通运输的发展来看，各运输方式之间采取动态优惠预售票价方式吸引更多的旅客，使客票期望收益最大化成为一种有效的竞争手段，因此如何根据市场需求的变化及时调整或选择恰当的动态票价策略，将成为铁路企业增效的一种重要手段.票价的制定问题已有论文讨论过，文献［1－3］通过运用双层规划模型建立了合理的模型，兼顾了交通部门和乘客的利益，并通过灵敏度分析方法求出解，但该方法确定的仅仅是单一的票价.文献［4］通过建立的马氏纯灭过程模型求的最优动态票价，但是在该论文中动态票价集是给定的，而如何确定动态票价集仍是个问题.本文重点讨论中短途公路与铁路之间的竞争，即在前人所提出的双层规划模型和灵敏度分析方法的基础上，建立了一个非线性规划模型，并对此进行了分析并求得了最优动态票价.

1 城市间的多模式均衡配流模型

对于交通方式选择问题来说，市场份额分为2个部分：即强迫购买部分和自由购买部分，将分别对应铁路、高速公路和航空旅客运输中的稳定客户群与自由选择客户群.某种旅客运输方式的稳定客户群是由旅客的经济状况、旅客的个人偏好等原因形成的稳定的乘客群，这种稳定的乘客群一般不考虑改变旅行的交通方式.自由选择客户群将根据各种旅行方式的旅行时间、旅行价格、旅行的准时性、旅行的安全性和舒适性等因素形成对各种交通方式的效能函数值，并以此来确定将要选择的交通方式.综合考虑到这些因素，能够得到公路和铁路的运输方式的效能函数

式中：ζ为影响旅客运输分担比例的因素集合；i为两种旅客运输方式，i＝1为铁路，i＝2为公路；Vi为第i种运输方式的效用值；xir为第i种运输方式的第r个因素的值；βi为xir在效能函数中的权重值.

下面，定义变量如下：W 为运输网络中所有OD对（从某起点至终点的运输通道成为一个OD对）序号的集合.w为OD对排列序号，w∈W；Qw为OD对w总的客流量；qnw为OD对w第n种运输方式的客流量，n＝1，2，…，N，N为运输方式总数.

在本文中，假定在多种运输方式的均衡状态下，在OD对w中不同运输方式的客流量满足Logit分离模型，即

构造如下最优化模型（M），并且证明这个模型的解满足式（2）

本文采用指数型需求函数

2 灵敏度分析方法

灵敏度分析方法主要应用在变分不等式中.通过这种方法，可以求出变分不等式的解对其扰动参数的导数.本文假定这个扰动参数为旅客票价，并且假定影响客流变化的其他因素如时间、舒适性和安全性等均保持不变.

首先，多模式均衡配流模型（M）可表示为

式中：所有的qw∈｛qw（ε）｜Qw＝∧qw（ε）｝.

式中：uw为求解模型时，对应于约束条件（4）的拉格朗日乘子.详见参考文献［6］.

设 y（ε）＝［qw（ε），uw（ε）］T，用Jy（ε）表示式（10）和式（11）对［qw（ε），uw（ε）］的雅可比矩阵，用Jε（ε）表示式（10）和式（11）对于ε的雅可比矩阵，那么有如下结果［6］：

并且有如下结论

这样就得到不同运输方式在均衡条件下客流量与扰动参数之间的关系，也就是客流量与旅客票价之间的关系.由此可以建立非线性规划模型如下.

式中：f为某种运输方式下的经营收入.y（ε）与ε的关系如式（13）.ε为扰动参数旅客票价，y（ε）为相应的客流量.

下面在一个实例的基础上具体应用该非线性规划模型，并求得动态票价.实验表明这个模型是可行的.

3 算 例

本算例对于效能函数来说分别考虑快速性、准时性、方便性、舒适性、以及经济性，各自对应的权重及数据见参考文献［7］.本文以石家庄到天津之间的运输方式之间，制定合理的动态火车票价，假设10天的总客流量为3 000人·次，需求函数中的β＝1.

表1 各因素的权重

表2 各因素所对应的属性值

式中：p1为乘坐汽车的票价且取p1＝100.

铁路的效用函数为

式中：p1，p2，p3分别为不同时间段提前购票所对应的票价，本文假定各个时间段里所对应的权重比为5∶3∶2.当扰动参数为0时，求的模型（M）的均衡解为

在这个算例中

所以，公路的效用函数为

根据式（15）、（16）、（17）得到Jy（p）和Jp（p）

将q1＊＝1 885，q2＊＝1 015代入Jy（p）得

最后得到

因此得出不同运输方式在市场均衡条件下客流量与旅客票价之间的关系

由此可以得出票价与乘客人数之间的关系，本文假定公路票价是一定值，即p1＝100，下面求火车的动态票价.建立数学模型为

式中：y为铁路部门的总收益，（－75.211 5×p1＋1 015＋84.777 9p21＋50.866 7×p22＋33.911 ×p23）为乘坐火车的客流量，1／2×p21＋3／10× p22＋2／10×p23分别为各个时间段内的票价，前面的系数为各个时间段内所占客流量的百分比.此系数是假定的.

这是一个非线性规划问题，由于目标函数的hessian矩阵是正定的，所以目标函数是凸函数.又因为其约束条件也为凸函数，所以该问题的最优解即为其K－T点.

利用Matlab程序求的最终的结果为：p21＝51，p22＝56，p23＝64.对应的目标函数值y＝－160 460，即火车在这种票价制度下的最佳收益值为160 460元.而目前火车的票价为50元，按照票价与客流量之间的关系可求的，此时铁路部门的收益为：99 750元.

4 结束语

本文采用规划方法和灵敏度分析方法求出票价和客流量之间的关系，并由此建立了一个非线性规划模型，并求出动态票价的解，数据证明实施动态票价要比单一票价铁路部门的经济收益高，而且证明此模型具有可行性，具有一定的现实意义.但是本文仍存在欠缺的地方，本文假定总客流量是一定的，而且各个时间段内的客流量比例也是假定的，没有考虑到客流量是随价格的变动而变动的，有待进一步研究.

［1］高自友，四兵锋.市场竞争条件下铁路旅客票价制定的模型与算法［J］.交通运输系统工程与信息，2001，1（1）：50－55.

［2］四兵锋，高自友.合理制定铁路客票价格的优化模型及算法［J］.管理科学学报，2001，9（1）：45－51.

［3］朱玲玲，徐 庆.弹性需求下铁路票价和提速策略的优化模型［J］.系统工程，2005（4）：69－74.

［4］史 峰，郑国华，谷 强.铁路客票最优动态票价理论研究［J］.铁道学报，2002，24（1）：1－4.

［5］四兵锋，高自友.铁路旅客票价与客流量之间的灵敏度分析［J］.铁道学报，1999，21（4）：13－16.

［6］Tobin R L，Fiacco A V.Sensitivity analysis for variational inequalities［J］.Journal of Optimization Theory and Application，1986，48（1）：45－50.

［7］生 璇，佟 琼.客运专线票价制定及其实证研究［D］.北京：北京交通大学产业经济学院，2007.