基于脊波变换的Sar复数图像压缩方法

2011-02-19胡方方

制造业自动化 2011年3期

胡方方

HU Fang-fang

（陕西三原空军工程大学导弹学院，三原 713800）

1 脊波概述

脊波（Ridgelet）是应用现代调和分析的概念和方法在小波分析理论上发展起来的新的分析工具。与小波分析和Fourier分析相比，脊波能对多维函数有更好的逼近速率。脊波综合了神经网络、统计学、调和分析等多个学科，克服了多维函数逼近的“维数灾”问题。

脊波分析等价于函数在Radon域上的小波分析。脊波对线性（超平面状）的奇异性的有效性可以理解为多维函数的线性（超平面状）奇异性经过Radon变换之后，转化为点状奇异性，这正好是小波分析的优势所在。

1.1 基于脊波变换的图像压缩算法

数字图像数据量巨大，为了高效率地存储和传输图像,必须对图像数据进行压缩。图像压缩中本质的数学问题是函数的稀疏逼近。Fourier变换与小波变换都是经典的函数逼近工具，ITU，ISO制定的静态图像压缩标准JPEG采用了DCT（Discrete Cosine Transform）而JPEG2000采用了小波变换。然而，Fourier基和小波基对高维函数的逼近都不是最优的。Fourier基是“全域”基,点奇异会影响到所有的变换系数，因而不能很好地刻画点奇异；小波基具有时域局部化的特性，能有效表示点奇异，但由于缺乏方向性而不能很好地刻画沿直线或曲线的奇异性。有以下几个结论：

1）设ϖt（x）为光滑、紧支的窗函数，α＜1/2，对fα=|x|-α·ϖt（x），x∈R2的N项小波非线性逼近fW满足：

||g-gw||=0（N-1），N→∞。

3）对定义在[0,2π]2上有直线奇异的函数f的非线性Fourier逼近fF满足||f-fF||= O（N-1/2），N→∞。

Fourier基于小波基的不足使人们开始寻求更好的非线性逼近工具。脊波理论就在这样的背景下应运而生。1998年，E.J.Candès为了解决神经网络构造问题和用脊函数的线性组合逼近多元函数的问题提出了脊波分析（ridgelet analysis）的概念，其基本思想是用Radon变换把空域的直线奇异映射为Radon域上点奇异，然后在Radon域上进行小波分析。但Candès最初提出的脊波具有脊函数的形式，从而不属于L2（R2），这给相关的理论分析和脊波变换的数字实现带来了困难。1999年，Donoho构造了L2（R2）中的正交脊波{ρλ}λ∈Λ及相应的脊波变换，作为沿直线奇异的分片光滑函数的多尺度表示方法。关于{ρλ}λ∈Λ，有以下主要结论：

自然图像包括大量的具有明显“直线边缘”的图像，而且边缘表示了图像的主要信息，这同视觉过程中神经活动机制有关，也与信息论有关。利用脊波对“直线奇异”的良好刻画，针对具有直线特征的图像，设计基于脊波变换的有损压缩算法。首先对图像进行脊波变换，然后对变换系数进行标量量化、扫描、熵编码。仿真实验表明，与基于小波变换的JPEG 2000压缩算法相比,本文的算法能获得更高的压缩率，同时保持较高的信噪比。

1.2 连续脊波变换

定义1：设（ψj,k（t）：j∈Z,k∈Z）是L2（R2）中由Meyer小波构成的规范正交基；

（ϖpx,t（θ）,l=0,..,2to-1；ϖ1t0,t（θ）,i≥i0,l=0,...,2i-1）是L2

（0,2π）中一组规范正交基，其中ϖ1t0,t是周期化的Lemarie尺度函数，ϖ1t,t是周期化的Meyer小波。令ψj,k（ξ）表示ψj,k（t）的傅里叶变换。于是，正交脊波ρλ,可在频域中定义：

λ=（j,k,i,l,ε）

ρλ（ξ）=|ξ|−1/2（ψj,k（|ξ|）ϖei,l（θ）+ψj,k（-|ξ|）ϖε

i,l（θ+π））/2

其中j,k∈Z,l=0,…,2i-1-1；i≥i0,i≥j。

定理1：{ρλ}λ∈Λ构成L2（R2）上的完备正交基。

对f（x）∈L2（R2）,连续脊波变换定义为：

CRTf（λ）=＜f,ρλ＞

重构公式为：f（x）=Σλ＜f,ρλ＞ρλ。

2 基于脊波变换的Sar图像压缩方法

2.1 离散Ridgelet变换的正交性

离散脊波变换就是先对图像进行离散Radon变换，然后在Radon域进行离散小波变换。我们知道离散Radon变换是冗余的,非正交的，因此即使选择正交小波变换，相应的脊波变换仍然是非正交的。

设Zp={0,1,2,…,p-1},p为素数。设图像的大小为M×N，必须将其转化为p×p,p为大于M,N的最小素数。则定义在上函数f（·）的离散Radon变换FRAT f（k,l）为

其中，非垂直方向的直线为

Lk,l=｛（i,j）lj=kj+l（modp）,i∈Zp｝k,l∈Zp

和垂直方向的直线为

Lp,l=｛（i,j）|j∈Zp｝,l∈Zp

包括了Zp2上的所有可能的直线,k,l分别为直线的斜率和截距。可以看出Zp2的任意两点只可能在同一条直线上，同时任意两条非平行线仅交于一点,同一斜率的p条直线覆盖了Zp2的所有节点。变换之后得到了矩阵r（p+1）×p。这里要求p为素数保证方向的唯一性。为方便讨论期间，我们假设f的均值为零（其他值也无妨,只是为了证明相关性）。同样我们可以知道当p比较大的时候，minklk't＜（δLL·δLL'L'）=cos-1（1/p），也就说离散Radon变换当p比较大的时候几乎是正交的。

下面我们给出脊波变换的形式：

因此离散脊波变换的基函数为

可以证明若｛wkm（·），m∈Zp｝正交,则{ρk,m}也是正交的。

2.2 基于离散Ridgelet变换的SAR图像压缩算法

1）根据SAR图像的大小M,N选择合适的素数p，一般我们选择大于M,N的最小素数（一般p比较大，可以基本满足后续变换的正交性要求）；

2）对p个方向分别进行Radon变换，得到Radon域系数r（p+1）×p；

3）对r（p+1）×p进行小波变换得到小波域系数，为了确保算法的效率，确保变换的正交性，进一步降低数据的冗余性，我们选择了正交db小波，边界延拓使用了零延拓；

4）在小波域根据压缩比CR的大小确定保留系数的个数D，再根据系数绝对值的案由达到小排序后，序数大于D的一律置为0；

5）逆小波变换；

6）逆Radon变换。

3 结果分析

我们分别采用图1（a）、图2（a）中大小为256×256的真实SAR图像作为压缩测试图像，两幅图像都受到了斑点噪声的污染，而且两者线性奇异性都比较明显。其中图1（a）线性奇异性占绝对优势,主要目标为跑道和道路；图2（a）既包含了线性奇异性，还包含了建筑物等类似于点状奇异性的目标。本文基于脊波的压缩方案和传统的基于小波的压缩方法都选用了db4小波函数，小波分解一次,保留若干绝对值最大的小波系数。由实验结果容易看出压缩比比较小的时候，基于小波变换的方法占优势，原因是所有的线性奇异性都“淹没”在点状奇异性之中，而且在运算复杂度、压缩效果等方面稍逊于小波变换。当压缩比较大时，本文方法优势非常明显，压缩效果随压缩比的增大缓慢衰减，即使当压缩比达到128时，效果仍比较好，大部分的方向信息得以保留，但图像由于Radon变换的原因出现了平行干涉条纹，这是难以避免的。