文科线性代数教学实践与思考

2011-02-17任立民福建江夏学院信息系福州350108

中国科技信息 2011年8期

关键词：行列式矩阵数学

任立民福建江夏学院信息系，福州 350108

文科线性代数教学实践与思考

任立民福建江夏学院信息系，福州 350108

由于线性代数理论性很强，高的抽象，严谨，再加上课时较少，老师难教，学生难学，作者经过多年教学经验，对线性代数的课程体系改革、教学方法以及学习技巧等进行剖析总结与大家分享，希望同行之间加强交流与合作，进一步提高文科线性代数的教学质量。

线性代数；教学实践与思考；教材体系改革；教学方法改革

引言

随着经济、管理和信息等学科的飞速发展和更新，对数学的要求越来越高，本文试图结合我对线性代数教学的一些实践经验进行分析，思考与探索。线性代数作为数学学科的一个分支根植于古老的欧式几何、解析几何、线性方程组理论三者构成了线性代数的历史渊源，是研究线性范畴的一门理论学科。

线性代数教学被认为是困难的。同微积分相比，一些学生甚至感觉到好像“来到了另外一个世界”。有些十分简单的概念学生都无法理解，譬如有的同学对“逆序数”就无法理解，老师也往往感到非常困惑。应该承认，线性代数学习的困难，跟他们相关的预备知识不足和学习能力水平有关。因为在抽象化过程中需要有批判的眼光，找出事物的本质特征，再加以一般化，这往往是大一新生所缺乏的。为此，我们需要找出一些合适的教法和学法。

一、国内院校线性代数课程与教材体系改革

自80年代以来，随着计算机科学的迅猛发展和更新，线性代数作为一门“工具”课，无论是在研究手段，研究对象还是研究成果都正在飞速发展，对国内非数学专业的线性代数课程教材主要包括：行列式—矩阵—线性空间—线性方程组—特征值与特征向量—二次型—应用模型理论。这几乎成为大多数教材的标准，只是不同教材安排次序不一样而已。对此，怎么看待这种现象呢？我想可能是由以下三个原因造成的。一是历史原因。事实上，行列式、矩阵、线性方程组等线性代数学科的具体对象原本是各自独立的（当然也有某种联系）发展演化而来，逐渐成为一门学科是后来发展的。其次，对具体“教学”对象一个个地进行介绍，每一个部分相互独立，好像比较容易接受，因而长期沿袭下来了。再次是非数学专业学时很少。我现在所教的线性代数就只有36课时，所以更愿意把它花到工具使用的那些内容上，至于线性代数的理论核心部分只能点到为止了。通过几年的教学下来，对这种现象我颇有怨言，学生实际没有学到线性代数的真正内容，但现实的课时问题没办法解决，也就无从说起。尤其是在信息化和素质教育的今天，线性代数不能只是当做“工具”来使用。

学生普遍反映线性代数“抽象”难懂。一个简单的逆序数就让学生头疼，相关性无从下手，线性空间更是抽象。学生难学，老师难教。如何改变这种困境呢？以科学性、知识性和实用性为原则，尝试一下改变《线性代数》教材内容体系。以矩阵的初等变换为主线进行教学：

（一）先讲矩阵及其运算—矩阵的初等变换—用初等变换求逆矩阵—用初等变换解方程组—用初等变换求向量组的极大无关组和秩—化二次行为标准型。

（二）向量空间中首先给出二维、三维向量之间的关系，结合几何直观上给出线性相关和线性无关的具体含义，然后抛出抽象的定义。把空间解析几何与线性代数中的概念、性质类比，从而，使抽象的概念具体而直观的表现，学生更容易接受。

（三）用矩阵行向量组的秩定义矩阵的行秩，列向量组的秩定义矩阵的列秩，直接说明矩阵的行秩等于列秩，然后介绍向量空间与方程组解的结构。这样就可以回避行列式的定义。这不仅保持内容完整而严谨，并且降低了难度，学生更容易理解领会。

（四）归纳定义行列式的定义，罗列行列式的性质并简单证明。

（五）通过实例引入方阵的特征值与特征向量，实对称矩阵的对角化，化二次型为标准型等串联起来。实践证明，这种教学尝试是成功的，教学效果明显改善，学生的反响和考核成绩都得到明显改善和提高。

二、教育教学方法改革探索

目前该课程仍以讲授为主，对基础好的同学没有任何问题，而对学习主动性差，基础薄弱的同学而言，就听不懂，不会做练习，甚至厌学，结果就会出现两极分化。这种现象引发了我对教学方法的摸索与改革。后来，我进行了自学、讨论、讲授并辅助多媒体与网络学习的方式进行教学试点。引领在教学实践中进行“手、脑、心”的全方位自主学习，学生与老师共同探讨，师生互动的新教学学习模式。让学生由被动变为主动，教师也由领导者变为引路人，正所谓“师傅领进门，修行在个人”，事实上，老师应该是导演，学生是执行者。

讲授法与其他教学法巧妙结合：譬如，讲授法与探究法相结合，探究法是指老师组织和引导学生通过独立的探究和研究而获得新知识的一种方法。它首先是指学生在学习数学概念和数学原理时，教师只给提供一些事例和为题情景，让学生通过阅读、观察、实验、思考、讨论等途径独自探究，自行发现并掌握相应数学概念和原理；其次是指导学生解决问题是，老师只给创设出问题的情景，让学生通过探究找到解决问题的方法。其指导思想是在老师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握知识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物的起因和事物的内部联系，从中找出规律，形成自己的概念。这种方法实际上对学习线性代数很有帮助，但由于时间的限制无法实现，我们不妨把这种思想应用到讲授过程中，却会收到不错的教学效果。因为学生参与了这种过程才会身临其境的体会其中的奥妙和乐趣。

另外，教学中不仅要重视优化学生的认知结构，更要培养学生将陈述型知识转化为理解型、应用型知识的能力。要做到这一点，只有将结果与过程有机的结合，才能体现其思维过程，其真正的数学思想才得以提炼与升华。这就需要老师在讲授知识点的同时，还要揭示他们之间的内在联系，使这些知识能融会贯通。譬如在介绍完行列式的计算需要总结常见的类型和方法：

（一）定义法—将行列式按某行（列）展开化为低阶的行列式（注意零按元素较多的行（列）展开可以简化运算）。

（二）零值法—对于各行（列）形式基本一样，只是字母的符号略有不同的行列式常用此法。将某一行（列）的若干倍数加到另外两行（列）上，使其两行（列）成比例即可。

（三）三角形法—利用行列式的性质将其化为上（下）三角形行列式得出结果，这是最常用的一种方法。

（四）递推法—一般从原行列式出发，找到高阶行列式和一个或几个同型的低阶行列式之间的关系式，归纳递推得出结论。

（五）拆项法—行列式中某行（列）的元素为两数（以上）相加时把原行列式拆成几个简单行列式相加的方法。

（六）范德蒙法—将原行列式利用性质化为范德蒙行列式，再利用结论计算行列式的方法。

要把现代信息技术与线性代数相结合，应善于以信息技术和计算机技术为手段，把信息技术与应用性相结合，培养学生应用数学软件、构件数学模型、完成与文科相关课程的定量分析能力，掌握解决问题的算法及其实现，掌握一些数学软件的应用。提高效率，节约课时，激发学生学习的热情和创新精神。

以上是笔者在线性代数教学实践中的一些尝试，希望能和更多的同行和需要学习线性代数的同志共同学习进步，提高学习质量，促进本科教学质量。

[1]李秉德.教学论[M].北京：人民教育出版社.1991

[2][美]M.克莱因著.古今数学思想[M].上海科学出版社.1979

[3]黄惠青，梁治安.线性代数[M].高等教育出版社.2006

[4]刘吉佑，徐诚浩.线性代数[M]，武汉大学出版社.2006