CNC加工中直线插补刀路的误差评估修正研究

张永超，于 洋，赵嫚嫚

(1.西京学院a.机电工程系自动化教研室;b.机电工程系数控0803，西安 710123;2.西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室，西安 710072)

CNC加工中直线插补刀路的误差评估修正研究

张永超1a，于 洋2，赵嫚嫚1b

(1.西京学院a.机电工程系自动化教研室;b.机电工程系数控0803，西安 710123;2.西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室，西安 710072)

在精加工中，CNC机床扮演者极其重要的角色。CNC机床的加工水平已经成为衡量一个国家生产力和工业实力的重要指标。本文将针对传统的CNC机床控制器的直线插补功能上的缺点作深入的研究与分析，并使用Runge-Kutta法则对样条刀路进行误差评估修正，利用对于误差的评估－修正的方法求出最佳的曲线参数，推导出机床各轴控制系统的相对取样时间的进给量。通过仿真试验证明本文提出的算法在轮廓加工精度上优于传统的直线插补方法。

CNC;NURBS;Runge-Kutta法则;线性插补

0 引言

随着CNC机床产业的蓬勃发展，对于CNC机床的要求不再限于加工速度的高速化，对于加工精度和效率的要求也越来越高。

传统CNC机床的控制器只有直线G01与圆弧G02的功能，使得CAD/CAM软件只能产生以直线或圆弧为主的加工路径，如图1所示。

对于现代化的产品来说，外形的设计极其重要，外形不再以传统的圆形或者方形为主，设计中大量使用自由曲线和自由曲面，传统的加工方法在对于这些自由曲面外形的高速高精度的加工上就显得能力不足。大体上来说，传统的伺服控制器存在着以下问题:

图1 传统CAD/CAM加工流程

(1)加工复杂的曲面时，为了维持表面高精度会产生过多的程序代码(G码，M码)，超出控制器内存的容量。曲面的分段越细，所需的加工时间与成本也会相对提高。

(2)CNC机床在加工过程中，大量的短距离直线运动会造成机床的连续加减速运动，因而不宜达到原先所设定的进给率，以至于增加了加工的时间。

(3)小线段加工时，每个单节均做加减速切削，造成加工过程间接停顿的现象，而大量的加减速运动将使得被加工的零件表面质量受到影响。

解决这个问题最主要的方法就是将规划的加工刀具路径更加接近于所设计曲面轮廓。在此问题的研究中，国内学者做出了重要的贡献［1-5］;国外的学者有:Chou［6-7］提出精确的曲线离线插补方式，并应用于五坐标数控机床。Kim［8］针对现今插补精度不理想的现象提出新的看法，并对传统的加减速与插补方式作比较。Bedi［9］，Lo［10-12］，在参数式曲线插补的计算方法上也有详细演算法则。

基于传统插补器的缺点以及对于加工精度的要求不断提高，发展新的插补方法已是必然趋势。本文将针对插补方法，作深入的研究与分析并求得合适的插补算法。首先详细探讨CNC机床的线性插补理论并分析其刀路误差，然后提出预测-修正法的概念，反复计算使修正量纳入所预定的容许误差范围，最后通过计算机仿真验证本算法的有效性。

1 直线插补刀路误差

所谓的插补运算就是在工件轮廓的起始点与终点之间进行数据密划分割，从而求的满足误差要求的刀具接触点的数值计算过程。在给定条件误差范围内，把复杂的曲面或曲线转换成比较简单的直线与圆弧。下面将介绍使用逐点比较法的直线插补运算原理。

1.1 直线插补方法计算原理

如图2所示，加工轨迹为条直线OE，以O(0，0)为起点，终点为E(XE，YE)，刀具目前所处位置为PN(XN，YN)。

图2 逐点比较法线性插补原理

1.1.1 加工刀路偏差判断及刀具进给分析

(1)若PN在直线OE上，两直线OPN与OE的斜率相等，即:

其中D为偏差值。由图2可知:

当D=0时，PN点在直线OE上，只要刀具尚未到达终点，刀具既可沿着+X也可沿着+Y方向进给一步。假设现在规定刀具沿着+X方向进给一步;当D≥0时，刀具沿着+X方向进给一步;

(2)若PN点在直线OE上方，则OPN的斜率大于OE的斜率，即:

当D＜0时，PN点在直线OE下方，刀具应当沿着+Y方向进给一步;

1.1.2 直线插补偏差计算

刀具每进给一步后，都要重新计算偏差值D，然后根据D值，来判断下一步的进给方向。由于上述偏差公式计算时要进行两数相乘以及求差等运算，其过程比较复杂。因此，可做如下变化:

如图2，假设刀具目前位于PN(XN，YN)，则目前偏差量为:

由此可知，新的偏差量等于原来偏差与终点坐标值的代数和。

1.2 直线插补刀路误差

刀具轨迹的品质关键在于对刀路误差的控制，所谓刀路误差，是指实际位置与理想刀路之间的最短距离，如图3所示。P*为原点到理想位置的向量，P为原点到实际位置的向量为原点到理想路径上与P最近的向量，位置误差向量E=P*－P，Er为刀路误差向量。令V为对应于P*之速度命令单位向量，则路径误差即可计算出:

图3 线性刀路误差示意图

若在X－Y平面内，令预定直线刀路与X轴的夹角 θ，即 Vx=cosθ，Vy=sinθ，则刀路误差可如下表示:

2 直线插补刀路误差评估-修正算法

评估是指通过动态模型来评估未来一定时间内每个取样周期的过程输出，这些输出为现在时刻和未来一定时间内控制量的函数，计算出现在未来时间内控制量的大小。此方法在理论与应用方面取得显著的成果，在工业生产和学术研究中有广泛的应用。本节将对预测－修正法做详细的分析与讨论。

首先定义一空间参数曲线，如式(1)所示:

其中x，y，z分别为位置坐标，u为曲线参数(0≤u≤1)。而在CNC系统中，参数迭代的方式通常具有下列格式:

其中，uk+1表示下一个时间点的参数，uk表示现在时间点的参数，Δ(uk)表示与现在时间点相关的计算量。

对于初始值的定义，本文使用Runge-Kutta法则。首先，假设u的增量δ(u)包括了k1、k2并赋予不同的加权值。参数式曲线的进给率f(t)有如下关系:

由式(22)可知，将k1及k2值当成t行进插补周期T时u的变量。Runge-Kutta法则使用欧拉估算作为Δu的第一次评估;现在将式(22)式尽量在点(tk，uk)以泰勒级数展开，同时将u的微分方程式以g(t，u)取代，则可得:

在此四个未知数a，b，α，β，只需满足其中三个方程式即可。因此，只要建立任选一个任意值则其他三个未知数皆可得知，如此一来便建立了二阶的Runge-Kutta法则。

3 计算机仿真试验与误差分析

在本节中，将利用泰勒一阶与二阶级数展开，Runge-Kutta法三种理论，作为曲线参数u之迭代方法，并分析比较所造成进给率的误差量。利用Matlab软件模拟绘出路径并分析轮廓误差。

在此，首先定义一Bezier参数曲线，通过X－Y平面上的16个控制点来定义，如图4所示。

图4 16个控制定点所定义Bezier参数曲线

设定进给率 f=300mm/min，插补时间 T=0.01s，误差 ε=0.01mm。

对于CNC系统中，泰勒一阶展开的近似插补方程为:

则对图4的仿真实验曲线，使用泰勒一阶，二阶级数展开，Runge-Kutta法则所模拟出图5的进给率误差分析图。其中方法一为泰勒一阶级数展开，方法二为泰勒二阶级数展开，方法三为Runge-Kutta法则级数展开。

图5 三种迭代方法的加工误差对比图

从图5中可以看出，使用Runge-Kutta法则所产生的加工误差最小，而使用泰勒一阶方法产生的误差最大。关于最大误差与最小误差总结如表1。

表1 轮廓误差对比表

4 结束语

本文首先详细探讨CNC机床的线性插补理论并分析其刀路误差，然后提出预测-修正法的概念，反复计算使修正量纳入所预定的容许误差范围。在此基础上提出了在利用NURBS参数曲线生成加工刀具路径时，利用Runge-Kutta法则预测-修正法作为参数曲线的迭代算法，并可保证每一步速度误差量皆在所给予之范围内。仿真实验表明，此方法能够拥有较好的曲线迭代方式，在改善加工轮廓精度上具有很好的效果。

［1］游有鹏，王珉.NURBS曲线高速高精度加工的插补控制［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2001，13(10):943－947.

［2］方逵.参数曲线近似弧长参数化的插值方法［J］.计算机辅助设计与图形学学报，1996，8(2):115－120.

［3］游有鹏，王珉.参数曲线的自适应插补算法［J］.南京航空航天大学学报，2000，32(6):667 －671.

［4］方逵，邱建雄，孙星明.参数曲线近似弧长参数化方法［J］.数值计算与计算机应用，2001，22(4):276－280.

［5］吕彦明.参数曲线直接数控插补通用算法研究［J］.机床与液压，2007，35(10):83 －84.

［6］Chou，JJ and Yang，DCH‘Command generation for threeaxis CNCmachining’Trans.ASME J.Eng.lndust.1991，113(8):305 －310，1999.

［7］Chou and Yang，1992.J.－ J.Chou and DCH Yang，On the generation of coordinated motion of five－axis CNC/CMM machines.ASME Journal of Engineering for Industry，1992，114(2):15 －22.

［8］DIKim，“Study on Interpolation Algorithms of CNCMachine Tools，” Proceeding of IEEE ISA’95 Annual Meeting，1995:1930－1937.

［9］Bedi S，Ali I，Quan N.Advanced Interpolation Techniques for CNCMachines［J］.ASME Journal of Engineering for Industry，1993，115(1):329 －336.

［10］Lo，CC.，A new approach to CNC tool path generation.Computer－Aided Design，1998，30:649 －655.

［11］Lo，CC.，1997，“Feedback Interpolators for CNCMachine Tools，”ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering.，119:587 －592.

［12］Lo，CC，and Hsiao，CY，1998，“CNC Machine Tool Interpolator with Path Compensation for Repeated Contour Machining，”Comput.－ Aided Des.，30(1):55 －62.

(编辑 赵蓉)

The Error Evaluation and Modification for Linear-interpolation Cutting Path in CNC Machining

ZHANG Yong-chao1a，YU Yang2，ZHAO Man-man1b
(1a.College of Mechano-Electronics Engineering，Xijing Institute;1b.Department of Electrical and Mechanical Engineering.Numerical Control Technology 0803，Xi’an 710123 ，China;2.key Laboratory of Ministry of Education for Contemporary Design and Integrated Manufacturing Technology，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China)

CNC machine play a major role in finishing machining,and CNC machining ability is still very important for any country.This paper w ill first briefly discuss the issues of the traditional CNC system in linear interpolators,and proposed an efficient approach by using Runge-Kutta method to modify the errors,and to generate the best spline parameter.Computer-aided simulation indicates the presented methodology achieving high motion precision than the traditionalmethod.

CNC;NURBS;Runge-Kuttamethod;linear interpolator

张永超(1977—)，男，陕西西安人，陕西西安西京学院机电工程系教师，助教，硕士，从事机械、仪器仪表及相关领域的教学及研究开发工作，(E －mail)522031810@qq.com。

TP391.73

A

1001－2265(2011)06－0061－04

2011－01－04