“动栅式”分光计的设计与实验研究

刘 亮，熊永红，曾志杰，李莉君，范淑媛

（华中科技大学物理学院，湖北武汉430074）

1 引 言

分光计通过精确测量光栅与望远镜的转角，来测定光栅常量.实验时一般采用固定光栅而转动望远镜的方式，可以称之为“转筒式”.“转筒式”测量方法的前提是入射光线与光栅平面严格垂直，即正入射[1].正入射的优点有：1）理论推导过程及计算表达式简单；2）操作便捷，可重复性较好；3）实验现象明显，有对称的衍射条纹.但学生目测入射光和光栅是否垂直会引入一定误差，而且垂直入射只是光栅衍射的一种特殊的情况，所以缺乏对光栅衍射的全面了解.除了正入射法，还可以采用最小偏向角法[2]，避开斜入射带来的误差问题，但其对平台的调整要求更高.除此之外，上述2种“转筒式”测量方法均由手动操作完成，转动过程中观察者的眼睛要跟着镜筒一起动，若将分光计改为自动测量，将会带着一个“大尾巴”（即传感器的数据线）来回摆动，很不方便.

基于以上原因，我们在做分光计拓展实验内容时，采用逆向思维的方法，将转动望远镜的方式改变为转动光栅的方式，进行了理论设计、数值模拟和实验研究，设计了“动栅式”分光计.“动栅式”分光计有以下几个优点：1）转变了思维模式，避免了偏离正入射引入的误差；2）观察到了新的实验现象，当调节望远镜筒与准直管夹角逐渐变小至零度时，衍射图像中的条纹会依次消失，先是长波长对应的条纹消失，后是短波长对应的条纹消失，可以推导出每种波长消失的“临界角”；3）虽然“动栅式”的光栅衍射方程比正入射复杂些，但适应范围更广，有利于提高学生光路调节技能，培养提出问题、分析和处理问题的能力；4）将望远镜改为光电传感器时，不存在拖着“大尾巴”来回摆动的问题.将刻度盘改为精密的角度编码器[3]，可以将分光计改进成数字式测量仪器，用于光栅特性检测和各种光源光谱的精确快速测量.

2 设计原理

“动栅式”分光计要求固定准直管和望远镜而转动光栅，最简单的处理方式是让望远镜与准直管处于同一直线，转动光栅，通过相邻狭缝的光线间的光程差为Δ＝dcosθ－dcosθ＝0（d为光栅常量，θ为光栅转角）.该情况下，光栅转动过程中只能观测到白色的亮条纹.若看到彩色条纹，望远镜和准直管必须有一定的夹角，记为α0（图1）.

图1 望远镜与准直管夹角α0

取望远镜和光栅之间的夹角θ（光栅转角）作为变量.转动光栅时，从准直管发出的光线可以透过光栅或者经光栅平面反射进入望远镜，此处只考虑透射的情况（图1）.转动光栅使θ角从0°到π－α0的范围内变化.考虑此时通过光栅上相邻两狭缝的光线之间的光程差，需要分为3种情况（图2）.可以看出，每种情况左边的光线经过的光程Ω1都要大于右边光线的光程Ω2.第一种情况：左边光的光程是Ω0＋dcosθ，右边光的光程是Ω0＋dcos（α0＋θ）.

图2 光线透射造成光程差的3种情况

同样，后两种情况的光程差分别为：

所以，3种情况下的光程差相同.假设入射光为单色光，波长为λ，根据光学知识，衍射条纹出现的条件是：

式中k取整数，是衍射级次.如果已知光波长λ及光栅常量d，可得：

α0的取值范围是0°～180°，θ的取值范围是0°～180°－α0.

3 数值模拟

根据式（4）可以求出各级谱线的角分布情况.例如，对于汞灯的4条光谱线（紫光435.84nm，绿光546.07nm，黄光一576.96nm，黄光二579.07nm），取线度为600线／mm的光栅，求解θ角.为此，可以先将式（4）变为

这样就可以把式（5）左边看成是θ的函数f（θ），其与y＝k的交点对应的横坐标即为所求.下面给出α0为22°时的数值模拟情况（见图3，由于双黄线波长接近不利于画图，图中只考虑了黄线二：579.07nm）.

图3 作图法求解衍射极大角

从图3中可以看出，衍射条纹是左右对称的，其对称轴为（π－α0）／2＝79°，这不难理解，因为光栅转动的前半程和后半程是对称的.采用作图法，改变α0值的大小，可以方便地得到光谱分布.

下面考虑改变α0角.以紫光（435.84nm）为例，在不同的α0角下，f（θ）曲线会出现伸缩和平移（见图4）.图中有两点重要之处：

图4 不同α0角时紫光光谱的分析

第一，当α0角变化时紫光衍射条纹的角分布情况和衍射级次都会发生变化，当α0＞30°19′时有高级（k≥2）条纹出现，而低级条纹会消失.当α0＜15°01′时，各级衍射条纹都会消失.此α0角对应的“消失临界”公式可由式（4）中令k＝1及θ＝（π－α0）／2推出

第二，图中所有f（θ）曲线的波峰在1条直线上，因为波峰对应的角度值θ波峰与α0满足关系θ波峰＝（π－α0）／2.

4 实验研究

采用“动栅式”分光计，对汞灯的紫、绿、双黄4条光谱线进行测量，观察α0分别为22°和45°时光谱分布情况，根据测得的θ值代入式（5）求出波长，如表1所示.

表1 实验测量汞灯光谱数据

实验得到的波长值与汞灯波长的标准值符合得较好，相对偏差都在1%以下.实验测量的衍射角与图3中数值模拟的角度值吻合.将α0在0°～90°内变动，可观测不同的透射光谱线.α0的值大于45°以后，衍射条纹强度会变得很弱以至于无法观测.要观测到明显的亮条纹，则α0的角度越小越好，但是当α0低于20°00′时，双黄线先消失，减小至18°51′时，绿线也会消失，低于15°01′时，紫线也消失（与前面的模拟结果对应），此时，汞灯的衍射图谱中看不到亮条纹.所以，如果要观察到明显且丰富的衍射谱线，α0的取值在21°～45°最为适宜.

5 结束语

本文给出了“动栅式”分光计光源波长与光栅转角θ的关系.对汞灯谱线的衍射情况进行了数值模拟和实验研究.数值模拟给出了求解θ值的一种便捷方法——作图法.实验观测了汞灯4条谱线的波长，测量值与汞灯波长标称值符合得很好.“动栅式”分光计与“转筒式”分光计相比，理论推导虽然要复杂一些，但是有助于我们更深入理解光栅衍射的物理本质，也有益于培养学生的逆向思维和处理复杂问题的能力.

[1] 熊永红，张昆实，任忠明，等.大学物理实验[M].北京：科学出版社，2007：56－60.

[2] 金逢锡，孙龙，王成贵.用光栅最小偏向角法测定光波波长[J].延边大学学报（自然科学），2003，29（2）：100.

[3] 陈剑波，王姝，万振茂，等.角度传感器在分光计实验中的应用[J].物理实验，2008，28（5）：5.