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对“再谈梯形与不等式”一文的看法

2011-02-01443300湖北省宜都市外国语学校

中学数学杂志 2011年12期
关键词:宜都市作图过点

443300 湖北省宜都市外国语学校 范 鸿

对“再谈梯形与不等式”一文的看法

443300 湖北省宜都市外国语学校 范 鸿

文[1]中,作者对构造一个特殊梯形,直观地解释一组著名不等式,这种创造性的研究精神值得数学爱好者学习.笔者仔细研读,觉得文[1]构造梯形以及求特殊线段的过程较繁琐,并且分一个梯形为两个相似梯形的线段MN是怎样得到的没有讲清楚,只是表达了该线段的客观存在性.笔者发现一个更好的方法去构造这个梯形,也容易求出相应的特殊线段,现提出来供大家交流.

1 构造梯形,求四条特殊线段

构造如图1所示的梯形ABCD,Rt△ABF≌Rt△FCD,AB=CF=a,BF=CD=b,(b>a).

这是我们再熟悉不过的直角梯形了,美国第二十任总统伽菲尔德(Garfield)曾经用这个梯形证明了著名的勾股定理,也正是通过图1计算四条特殊线段,可以直观地解释这组著名不等式.

以O为圆心,OF为半径作⊙O,与BC,CD分别交于点 E,K.连接 AE,ED,AK.

然后过点E作GE⊥BC,GE分别与AK,AD交于点Q,G,过点O作OH⊥BC于H.

文[1]中,如图2的梯形GEHO中存在平行上下底的线段MN,使梯形EMNG与梯形MHON相似.

2 文[1]中的MN如何作出?

如图3,以 EG和 OH的长之和为直径作⊙T,过 EG和 OH的分点作直径的垂线与⊙T相交,则垂足与交点之间的线段就是EG和OH的比例中项MN.

如图4,为便于说清楚作图的过程,将梯形GEHO从原图中抽取出来.过E任作一条射线,在该射线上依次截取GE=EP,PW=MN(这里MN是图3中的),

连接WH,过P作PM∥WH交EH于M,过M作GE的平行线交GO于N,

这样完成了在梯形GEHO中作出线段MN,它能使梯形EMNG与梯形MHON相似.

显然,作图的原理是平行线分线段成比例定理.

虽然如此,但笔者觉得上述这样在梯形GEHO中作出MN还是挺麻烦的,需要好几步才能完成.

3 对梯形中两条线段的构成再改进

基于前面的认识,对在图1梯形中构造调和平均值线段、几何平均值线段再改进.

如图5所示,连接图1中梯形ABCD的对角线AC,BD交于点Q,过点 Q作GE⊥BC于E,交AD于点G.再以 H为圆心,以OH的长为半径作圆,交EG的延长线于点R.因为“平行截相似”,所以有:

也就是说过梯形对角线交点且平行两底,与两腰相交得到的线段GE是上下底a,b的调和平均值.

由前面1所述,调和平均值线段GE的端点E能分直径BC的两段BE=AB=a,EC=CD=b,

可以看出,在图5中这样构造调和平均值线段GE、几何平均值线段RE要比文[1]中构造GE,MN自然,简单,可操作性强.

1 王凯旋.再谈梯形与不等式[J].中学数学,2011,3(下)

20110404)

数学茶楼

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