面积比条件下的中考压轴题探究

222002 江苏省连云港市新海实验中学 姜 洋

面积比条件下的中考压轴题探究

222002 江苏省连云港市新海实验中学 姜 洋

面积比条件下的问题是指在图形的运动变化过程中，两个图形满足一定的比值，从而在平面直角坐标系中探求某点的坐标、某直线的解析式、某抛物线的解析式等等.这样的问题常常作为中考压轴题，或作为压轴题的一个子问题出现.本文对2010年的这类中考题进行问题的重构(再发现、再发明)，亲历问题(可能)的生长过程;自觉运用波利亚的“解题表”中的回顾反思环节，融会贯通面积问题的数学思维，以提高解决这类中考压轴题的有效度.

1 面积比条件下点的确定

问题1 (2010年深圳)如图1，抛物线y=ax2+c(a＞0)经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中 A(－2，0)，B(－1，－3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标;

(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立，求点P的坐标.

图1

解 求得抛物线的解析式为 y=x2－4，点 M(0，－2).由于△AOM，△BNM 都为等腰直角三角形，从而△ABM是直角三角形，求出S=×2×=2.如

△ABM图 2，由于 S△PAD=4S△ABM，可求得△ADP的边AD上的高为4，从而点P的纵坐标是4或－4，代入抛物线解析式得 P1(2，4)，P2(－ 2，4)，P3(0，－4).

图2

问题2 (改编于2010年成都市中考压轴题)如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，点 P 是线段 AC 上一点，设△ABP，△BPC 面积分别是 S△ABP，S△BPC，且 S△ABP:S△BPC=2∶3，求点P的坐标.

解 根据高相同，三角形面积之比等于底之比，S△ABP∶S△BPC=2 ∶3，稍作转化可得点P将线段 AC分割为2∶3.过点P作x，y轴的垂线，垂足分别为点D，E.PD与CO组成A型，AP ∶AC=2 ∶5，从而 PD ∶CO=2 ∶5，可求出 PD=;同理PE=

图3

将问题2稍作拓展:

问题3 将问题1中的“点P是线段AC上一点”改为“点P是直线AC上一点”.

解 此时点P可能出现在线段AC的延长线或反向延长线上.当点 P在线段 AC的延长线上时，S△ABP＞S△BPC，与题意不符;当点P在线段AC的反向延长线上时，S△ABP＜ S△BPC，则一定会出现 S△ABP∶S△BPC=2 ∶3.仍然是过点P作x，y轴的垂线，垂足分别为点 D，E，构造A型或X型求解得 P(－9，－6).因此点 P的坐标为()，(－9，－6).

点评 问题1中，△ABM是确定的，即静止不动的，而△ADP是底静止，点P待定，有了以上的动静分析，根据面积比列出方程就容易了.问题2中，△ABC是静止不动的，而直线PB绕着定点B旋转，从而△ABP，△BPC变化运动.△ABP，△BPC分别以AP，PC为底，则高相同，面积比转化为线段比，从而点P易求.

问题4 将问题1中的“点P是线段AC上一点”改为“点P在直线x=－5上”.

解 设点P(－5，t)，直线x=－5与x轴的交点为D.

情况1 当 t≥0时，如图4，直接求△BPC的面积很困难，转而用四边形PDOC的面积减去△BPD(若 t=0，则 S△BPD=0)，△BOC 的面积，从而

图4

由于 S△ABP∶S△BPC=2 ∶3，

建立方程，解得 t=6，即 P(－5，6).

当点P在第三象限时，要注意特殊情况:点P与AC共线(此时t=－2)，点P与BC共线(此时t=－12).

情况2 当 －2＜t＜0时，如图5，设PC与x轴交于点E，由PD与CO构造的X型，求得DE=，BE=4 －DE=

从而 S△ABP= － t，S△BPC=S+S=12+t.

△BEC△BEP2

图5

由 S△ABP:S△BPC=2 ∶3，解得 t= －3，即 P(－5，－3).

这里我们发现t=－3不符合情况2的条件，应当舍去.但是仔细观察，我们发现当－12＜t＜－2时，解题的方法及最后所构成的方程不变，所以分类标准应当调整.预想的“情况3，当 －12＜t＜ －2时”不需要，t= －2不应作为分类的标准.应与情况2合并，情况2的条件应改为“－12＜t＜0”结论是 t= －3，即 P(－5，－3).

点评 (1)情况3舍去的t=6恰好与情况1的结果相同，这是偶然的，还是必然的呢?其实当t＞3时，直线PC与x轴交于点E，运用与情况2，3相同的方法，所构造的方程与情况3恰好是同解的.

(2)求解S△BPC的方法中，情况1与2，3不同，而情况2，3的方法具有一般性.若按照情况2，3采用构造点E(直线PC与x轴的交点)的方法，分类的标准应当调整，分为t＞3;t=3;0＜t＜3;－12＜t＜0;t＜ －12五种情况.

(3)分类讨论的标准不是一蹴而就的，教师在教学中应当将分类的原因及分类的标准的产生过程体现出来，促进学生生成数学体验.

问题5 将问题1中的“点P是线段AC上一点”改为“点P在直线y=x+8上”.

类比问题4，解决此题学生会更加充满自信.

点评 问题串的设置不仅能让学生在探求三角形的面积时更具有技巧性，例如灵活地将目标三角形与周围的图形结合成一个规则的整体，而且问题2，3，4的逐步深入可以满足不同层次的学生的需要.

2 面积比条件下直线的确定

问题6 (2010年陕西省中考压轴题)问题探究

(1)请你在图6中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;

(2)如图7点M是矩形ABCD内一点，请你在图5中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.

问题解决

图6

图7

如图8，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中 DC∥OB，OB=6，CD=4，开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点 P(4，2)处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计)，并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在?若存在求出直线l的表达式;若不存在，请说明理由

图8

解 (1)如图6;

(2)如图7连接AC，BC相交于P，则P为矩形对称中心.作直线MP，直线MP即为所求.

如图8存在直线l，过点D作DA⊥OB，垂足为点A，则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心.从而过点P的直线只要平分△DOA的面积即可.易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分，则直线PH平分梯形OBCD的面积，即直线PH为所求直线l.

设直线PH的表达式为y=kx+b，且过点P(4，2).

∴ 2=4k+b，即 b=2－4k;∴ y=kx+2－4k;

∵直线OD的表达式为y=2x，

而PH与线段AD的交点F(2，2－2k)，

点评 从图7迁移到图8，学生还是比较困难的.一方面是因为图6，图7运用几何作图的方法找到了等积分割线，而图6中梯形OBCD或△ODA不是中心对称图形，则它没有中心，运用同样的几何作图法找到等积分割线很困难，图8运用了代数方法——待定系数法，或者称之为解析法.另一方面，图7中只是一个矩形(一个整体)利用中心找等积分割线，图8则需要将原图形转化为两部分来看待，学生不易转化出来，而点P恰恰是矩形ABCD的中心，这也是不易观察出来.

其实点P是否是矩形ABCD的中心并不是问题的关键.若点P不是矩形ABCD的中心，则设HP交BC于点I，求出点I坐标，再求四边形CDFI(可能是梯形或平行四边形)的面积，四边形CDFI与△DHF的面积之和等于梯形OBCD面积的一半，可构造方程解决问题.显然以上的解析法具有一般性，不会因为点P的位置受到改变.但是点P的位置不同，可能导致等积分割线与梯形OBCD的交点位置不确定.

类比问题6，我们可以将点P设置在梯形周长上，形内，形外.

问题7 在问题6的条件下，试求过边OD中点的面积平分线.

问题8 在问题6的条件下，试求过点(3，2)的面积平分线.

问题9 在问题6的条件下，试求过点(－1，0)的面积平分线.

点评 从问题6到问题7，8，9体现了问题变化生长的过程，突出方法的本质不变性，而解析法的探究应用反映了高观点知识的渗透，为将来的高中学习作好理解上的铺垫.

3 面积比条件下抛物线的确定

问题10 (2010年天津)在平面直角坐标系中，抛物线在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为E.

(1)若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标;

(2)将(1)中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足 S△BCE=S△ABC，求此时直线 BC的解析式;

(3)将(1)中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC，且顶点E恰好落在直线y=－4x+3上，求此时抛物线的解析式.

图9

解法1 (1)求得抛物线的解析式为y=－x2+2x+3，即y= －(x－1)2+4，抛物线顶点 E的坐标为(1，4).

(2)将(1)中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，

∴抛物线的解析式为y=－x2+2x+c(c＞0).

∴此时，抛物线与y轴的交点为C(0，c)，顶点为E(1，1+c).

如图10，过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则 S△BCE=S△BCF.

(3)根据题意，设抛物线的顶点为 E(h，k)(h＞0，k＞0)，则抛物线的解析式为 y=－(x－h)2+k，此时，抛物线与y轴的交点为C(0，－h2+k)，与x轴的交点为A(h－，0)，B(h+，0)＞h＞0).

过点E作 EF∥CB与 x轴交于点 F，连接 CF，则S△BCE=S△BCF.由 S△BCE=2S△AOC，∴ S△BCF=2S△AOC.得 BF=2AO=2(－h).

设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，

点评 (Ⅰ)(2)中通过等积变换构造了点F，从而构造了△EDF，利用Rt△EDF∽Rt△COB构造方程.这样的解题思路比较精妙，笔者反思这样的方法学生能想到吗?能否有其它的方法呢?

解法2 采用“合”的方法，将△BCE与△OBC结合成一个整体，得四边形OBEC，四边形OBEC又可以看作梯形ODEC与△DBE结合而成，从而

解法3 采用“分”的方法，将△BCE分割成△GEC和△GEB两部分.设BC与ED交于点G，GD∥CO，构成A型，求得GD=1+c－，EG=DE －GD=从而

笔者认为解法2、3种更合理、简洁.

(Ⅱ)显然第解法2、3思路种在(3)中也是可行的，留给读者解决，本文不再赘述.

数学学习的最佳途径是反璞归真，在学习者的头脑中，经历知识(可能的)发生、发展过程，需要教师为之设计一个知识可能的生长过程，使学生经历这个过程，像历史在戏剧中的重演.设计(可能的)知识生长过程，可以通过参与研究，从做数学中发现数学，积累丰富的经历.虽然数学问题变化多端，但总有共性，数学研究的经历、经验，具有一般性，日常解题和重大数学发明发现之间，并没有不可逾越的鸿沟(波利亚语).可见，研究的经历有助于数学教学的设计.

面积比条件下的中考压轴题属于高认知水平任务，从教师的教学方式方面分析，不是要求教师进行透彻讲解或包办代替学生的思维，而是要求教师为学生创设一个适合于学生最近发展区的问题情境，以利于学生探索，探索过程中教师通过适时的介入、引导、启发与点拨，为学生提供教练式的教学支援，并与学生相互交流、共同进行研究和评价，同时还要对自己的思维方向及学生的探究活动进行适时调控以保持任务的高认知水平.

20110323)