O－U过程的效用无差别定价和套期保值

潘燕玲，杨继德，刘利敏

（1.郑州师范学院 数学系，郑州 450044；2.许昌职业技术学院 人文系，河南 许昌 453002；3.河南师范大学 数学与信息科学学院，河南 新乡 453007）

效用无差别定价是以效用最大化为最优性准则，通过考虑未定权益和不考虑未定权益两种不同投资机会的相关性得到的一种定价方法.［1］目前主要采用两种方法展开研究：一种是以随机控制理论为基础，通过非线性偏微分方程进行探讨［2－9］；另一种是利用熵准则和最优问题的对偶性进行探讨［10］.近年来，MUSIELA［2，5］，BENTH［3］，ROUGE［4］等虽然都研究了一些特殊模型未定权益的效用无差别定价，但均未讨论相应的效用无差别套期保值策略.在本文中，笔者研究了O－U过程模型的效用无差别定价，并且得到相应的套期保值策略.

1 市场模型

设（Ω，F，P）是带滤子的完备概率空间，滤子F＝｛Ft｝0≤t≤T满足通常假设，其中T∈（0，∞）.考虑一个有两种资产的金融市场：一种是价格过程为St的风险资产，一种是价格过程为Bt的无风险资产.不失一般性，假设Bt≡1，即风险资产的价格过程为贴现价格过程.令风险资产的价格过程服从O－U过程：

其中W 表示Brown运动，μ，σ，α是常数.

假设投资者最初t时的财富为x.当s＞t时，投资在风险资产和无风险资产的份额分别为和πs，则财富过程为

给定未定权益B.考虑优化问题

优化问题（3）的解记为θB.当B＝0时，u0（t，x，s）就是最优投资问题，即

相应的解记为θ0.

定义1 如果Λ（γ）满足方程

则称Λ（γ）为未定权益B的效用无差别定价.称过程

为未定权益B的效用无差别套期保值策略.

2 O－U过程模型的效用无差别定价和套期保值策略

定理2 假设风险资产价格过程满足O－U过程模型，则形如B＝h（ST）（h（x）是Borel函数）的欧式未定权益指数效用函数的效用无差别价格满足

边界条件为Λ（γ）（T，s）＝h（s）.效用无差别套期策略为

证明

边界条件为u0（T，x，s）＝－e－γx.由一阶条件的最优投资策略为

代入（7）式得

由文献［3］114得价值函数u0（t，x，s）是可分离的，所以假设u0（t，x，s）＝－e－γx＋g（t，s），代入方程（8）得

边界条件为g（T，s）＝0；因此，最优投资策略为

同理可得u（t，x，s）的 HJB方程：

边界条件为u（T，x，s）＝－e－γ［x－h（s）］.由一阶条件的最优投资策略为

代入上式得

由定义 1，假 设u（t，x，s）＝－e－γx＋g（t，s）＋γΛ（γ）（t，s），代 入（11）式 整理可得效用无差别定价为＋最优策略为

由定理2得到的指数效用函数的无差别定价与B－S定价公式一样，而且相应的套期保值策略也是相同的.这是利用与B－S定价公式不同的最优性准则得到的，也从另一个角度论证了完备市场期权的定价是唯一的.

［1］HODGES S D，NEUBERGER A.Optimal replication of contingent claims under transaction costs［J］.Rev Futures Mark，1989，8（2）：222－239.

［2］MUSIELA M，ZARIPHOPOULOU T.An example of indifference prices under exponential preferences［J］.Financ Stochast，2004，8（2）：229－239.

［3］BENTH F E，KARLSEN K H.A PDE representation of the density of the minimal entropy Martingale measure in stochastic volatility markets［J］.Stochast：Int J Probab Stochast Process，2005，77（2）：109－137.

［4］ROUGE R，EL KAROUI N.Pricing via utility maximization and entropy［J］.Math Financ，2000，10（2）：259－276.

［5］MUSIELA M，ZARIPHOPOULOU T.A valuation algorithm for indifference prices in incomplete markets［J］.Financ Stochast，2004，8（3）：399－414.

［6］潘燕玲，沈艳琳，刘利敏.离散时间模型的指数效用无差别定价和最小熵鞅测度 ［J］.河南科技大学学报：自然科学版，2010，31（4）：92－93.

［7］沈艳琳，潘燕玲，刘利敏.离散时间模型的效用无差别定价和套期保值 ［J］.扬州大学学报：自然科学版，2010，13（2）：13－16.

［8］闫海峰，刘利敏，杨建奇.随机波动率模型的效用无差别定价和套期保值策略 ［J］.系统工程学报，2007，22（4）：379－385.

［9］闫海峰，刘利敏，杨建奇.随机波动率模型的最小熵鞅测度和效用无差别定价 ［J］.工程数学学报，2009，26（1）：43－50.

［10］刘利敏，牛保青，闫海峰.幂效用函数的无差别定价和套期保值 ［J］.数学的实践与认识，2009，39（5）：42－46.