运动磁场中的力与能量问题探讨

王维国

(海安高级中学 江苏 海安 226600)

电磁感应是中学物理的主干知识，其综合性强，与运动学、动力学、能量、电场、电路和磁场等知识的联系紧密．电磁感应对学生的能力要求较高，自然就成为高考的必考内容，而且往往以压卷题的形式出现，其中力与能量问题是考查的重点．导轨类的电磁感应高考题中的磁场大多是静止的，但近年来多次出现了磁场本身运动的问题，如2007年高考上海卷第23题、2007年高考重庆卷理科综合第23题和2008年高考天津卷理科综合第25题.其中上海卷试题如下.

【题目】如图1(a)所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．开始时，导体棒静止于磁场区域的右端.当磁场以速度u匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内．

图1

(1)求导体棒所达到的恒定速度v1；

(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？

(3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？

(4)若t=0时，磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动.经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图1(b)所示.已知在时刻t导体棒的瞬时速度大小为vt.求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小．

1 问题的提出

在上题中，磁场向右运动，使回路中的磁通量减小，从而产生感应电动势．与在静止的磁场里相比，自由电子的受力情况有什么不同？电动势产生的机理有什么不同？ “克服安培力做的功等于产生的电能”这个常用的结论还适用吗？有许多容易混淆的问题需要辨析清楚．要弄清这些问题，必须从电磁感应现象的微观机理入手，从带电粒子的受力入手.下面先辨析有关洛伦兹力的概念，然后讨论与运动磁场相关的一些力和能量的问题．

2 两种认为洛伦兹力能做功的错误认识

在中学物理中，把运动电荷所受的磁场力称为洛伦兹力，其矢量式为f=qv×B.一般只考虑电荷的运动速度与磁场方向垂直的情况，所以f=qvB.洛伦兹力只改变电荷速度v的方向，而不改变其大小，对运动电荷一定不做功．但一些学生因概念混淆，对洛伦兹力不做功的结论不能信服，甚至提出了“反例”.下面分析其中两种典型错误．

2.1 误认为安培力做功洛伦兹力就做功

安培力是磁场对通电导线的作用力，而导线中的电流是由大量自由电子的定向移动形成的.因此，通常说安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质．

如图2所示，自由电子在洛伦兹力的作用下，形成侧向运动，结果是使电子积累在导体的左侧形成负电荷层，而导体的右侧形成正电荷层，于是在导体内产生侧向的霍尔电场．自由电子所受的霍尔电场的电场力与洛伦兹力方向相反.当两种力大小相等时，自由电子便不再侧向漂移，而沿导线方向定向移动．设导线长L，截面积为S，单位体积内的自由电子数为n，自由电子定向移动的速度为v，则导线所含自由电子数为N=nSL；自由电子所受的洛伦兹力f=evB，N个自由电子所受洛伦兹力的合力F=SLnevB.又据电流的微观表达式I=neSv，得F=ILB．因此，当导线不动时，自由电子所受的洛伦兹力的总和，即在宏观上表现为通电导线所受到的安培力．

图2

当通电导线运动时，安培力会对导线做功，这能否说明此时洛伦兹力也做了功呢？

图3

图4 图5

在导体棒移动的情况下，微观看单个自由电子所受洛伦兹力的平行棒方向的分力f1=ev1B做正功，f1方向上的速度为v2，其功率P1=f1v2=ev1Bv2.洛伦兹力的垂直于棒方向的分力f2=ev2B做负功，f2反方向上的速度为v1，其功率P2=-f2v1=-ev2Bv1.洛伦兹力的两分力做功功率的代数和为零．另一方面，单个自由电子所受的洛伦兹力方向仍然与其定向移动的合速度方向垂直，洛伦兹力不做功．

在导体棒移动的情况下，宏观看安培力对棒做负功，安培力的功率为P安=-ILBv1，而非静电力做功的功率P非=F非v2=Nev1Bv2=nSLev1Bv2.又由I=neSv2，得P非=ILBv1.因此棒中所有自由电子所受洛伦兹力在宏观上的两个分量——安培力与非静电力做功的和也为零．非静电力做的功等于回路中产生的电能，而克服安培力做的功等于非静电力做功，也等于回路中产生的电能，这个常用的结论在恒定磁场静止的情况下是成立的．

2．2 误认为在运动磁场中洛伦兹力能做功

曾有学生提出：在静止的磁场中洛伦兹力不做功，但在运动磁场中洛伦兹力能做功．他提出一个模型，认为能推翻洛伦兹力一定不做功的结论．

图6

如图6所示，在以速度u向右匀速运动的磁场中，有一电子由静止释放．此时电子相对磁场向左运动，受到大小为euB、方向向上的洛伦兹力作用．电子在洛伦兹力作用下由静止开始运动，因此洛伦兹力一定做功．

要弄清这个问题的本质，必须用电动力学的相关规律进行分析．由电动力学的基本方程式可知，带点粒子在电磁场中运动时，所受的作用力

F=qE+qv×B

这个公式被称为洛伦兹力公式.它包括两部分：一部分是电场力qE(E包括电荷激发的库仑电场和变化磁场激发的涡旋电场)，另一部分是磁场力qv×B(即中学阶段所认为的洛伦兹力)．公式中除q是不变量外，F、v、E和B都是相对量，是随参考系变化的，v是相对于观察者的速度，E和B也是相对于观察者而言的．在应用这个公式时，首先要明确在哪个参考系中；在不同惯性参考系中，v、E和B是不同的，必须先变换，再代入公式．在该同学提出的问题中，涉及到两个惯性参考系：一是地面参考系，记作S′，另一个是相对于S′以速度u向右匀速运动的参考系S，在这个参考系中看，磁场是静止的，但不能把它称为磁场参考系，因为在物理学中，场是不能作参考系的，这是场与实物的重要区别之一.可以把它看作是与产生磁场的通电螺线管固接的；以下提到的参考系S和S′均依此规定．该同学认为在上述情况下，电子相对磁场向左运动，公式中速度是电子相对磁场的速度，因而受到的洛伦兹力大小为euB．但事实上，理论和实验都已证明，洛伦兹力公式中的速度是相对于观察者的，而不是相对于磁场的．洛伦兹力公式中速度的参考系选取错误是这种错误认识的根源．

在参考系S中只有纯磁场(E=0，B≠0)，电子向左运动的速度为-u，其受到电磁场的作用力为

F=-e(-u)×B

地面参考系S′以速度-u相对参考系S匀速运动，则在参考系S′中，不仅有磁场，还应当有电场(E′≠0，B′≠0)，根据电磁场理论有

E′=γ(-u)×B

其中γ为洛伦兹变换膨胀因子

在地面参考系S′中，电子受到电磁场的作用力为

F′=-eE′+(-e)v×B′

在上述问题中，电子相对地面参考系S′的瞬时速度为零(v=0)，所以此时在地面参考系S′中，电子不受洛伦兹力,则

F′=-eE′=-eγ(-u)×B=γF

因为磁场移动的速度u≪c，则γ≈1，可以认为F′=F,即在参考系S和参考系S′中，电子受到电磁场的作用力大小和方向是相同的．在参考系S中，电子以大小为u的速度向左运动，受到的洛伦兹力大小为euB．在地面参考系S′中，因磁场的匀速运动而产生感生电场，电子相对地面参考系S′的速度为零，虽然不受洛伦兹力，但受到感生电场的电场力qE，这个力大小约等于参考系S中电子受的洛伦兹力 ．在地面参考系S′中，看似是“洛伦兹力做功”，本质上是感生电场对电子的电场力做了功．

3 在运动磁场中的力与能量问题分析

在2007年高考上海卷第23题中，磁场以速度u向右匀速运动，在周围产生感生电场.因此导体中的自由电子的受力情况与导体在静止的磁场中发生变化，功能关系也出现了新特点.下面就这两个问题作具体分析．

3.1 运动磁场中的受力问题

当磁场以速度u向右匀速运动时，回路中的磁通量减小，产生顺时针方向的感应电流，使导体棒在安培力作用下向右加速．设某时刻棒的速度为v1，自由电子沿棒以速度v2定向移动．

在参考系S中看，棒中的自由电子一边以大小为u-v1的速度向左运动,一边沿棒以速度v2定向移动．与此相对应，自由电子受到洛伦兹力的两个分量大小分别为fx=ev2B和fy=e(u-v1)B,如图7所示．

图7

在地面参考系S′中看，棒中的自由电子一边以速度v1向右运动,一边沿棒以速度v2定向移动,与此相对应，自由电子受到洛伦兹力的两个分量大小分别为fx′=ev2B′和fy1′=ev1B′ .另一方面，磁场向右匀速运动，在周围会产生感生电场，感应电场的电场强度E′=γ(-u)×B，感生电场对自由电子的电场力沿y方向，大小fy2′=eE′=euB′，如图8所示．由此可以推断,在地面参考系S′中，自由电子在y方向受到的合力大小fy′=fy2′-fy1′=e(u-v1)B′.因为u≪c，γ≈1，B′=γB≈B，可认为，fx′=fx，fy′=fy，即F′=F，在两个参考系中自由电子受到的合力大小几乎相同．

图8

3.2 运动磁场中的感应电动势的来源

在地面参考系S′中，磁场匀速运动时，产生感应电动势的非静电力由洛伦兹力沿棒的分量fy1′=ev1B′和感生电场的电场力fy2′=euB′共同提供；产生的感应电动势中，既有动生电动势，又有感生电动势．由电动势的定义得

其中的B′Lu是感生电动势，B′Lv1是动生电动势.因两者方向相反，总的感应电动势大小等于这两者的差．在参考系S中，导体棒向左切割磁感线产生动生电动势，ε=BL(u-v1)，式中(u-v1)为参考系S中棒切割磁感线的速度.因为B′=γB≈B，所以ε′≈ε．而在地面参考系S′中，感应电动势ε=B′Lu-B′Lv=B′L(u-v1).不少人将此式中的(u-v1)看成是相对磁场切割的速度，如在2007年高考上海卷第23题的参考答案中，感应电动势就是这样计算的；其形式虽然与动生电动势相同，但产生机理有所不同．

以相对论的观点分析，因为运动的相对性，所以感生电动势和动生电动势也具有相对性．感应电动势究竟是感生电动势还是动生电动势，是与参考系的选择有关，通过坐标变换两者可以相互转化．

3．3 运动磁场中的功与能的问题分析

非静电力的功率等于回路中电功率．在这种情况下，安培力是导体棒运动的动力，它阻碍回路中的磁通量的变化，安培力做的正功，与回路中消耗的电功无关；“克服安培力做的功等于回路中产生的电能”的说法是不成立的．安培力和非静电力做功功率的和，表示回路中能量增加的快慢，其值为P=ILB′u.从这个表达式可以看出，它等于安培力与磁场运动速度的乘积．

回路中增加的能量究竟由谁提供？根据牛顿第三定律，导体棒在受到安培力时，也会对产生磁场的通电线圈有反作用力，要维持磁场以速度u匀速移动，就必须对通电线圈施加大小为ILB′的外力，这个外力的功率正是ILB′u．通过这个外力对通电线圈做功，把外界的能量通过电磁场转移给回路，这就是回路中增加能量的来源．

4 结论

综上所述，与在静止磁场中相比，运动磁场中产生的电磁感应现象的力和能量问题，均呈现了不同的特点．在地面参考系S′中，磁场匀速运动产生了感应电场，棒中的自由电子受到的电场力与洛伦兹力沿棒的分量提供非静电力，产生的感应电动势中，既有感生电动势，又有动生电动势．洛伦兹力一定不做功.洛伦兹力垂直导体棒的分量的总和是安培力.克服安培力做的功不等于回路中产生的电能.回路中增加的能量来源于维持磁场匀速移动时外界提供的能量．

1 阚仲元．电动力学教程．北京：高等教育出版社，1979

2 封小超．再论洛伦兹关系的协变性及其速度的含义．大学物理，1987(8)

3 陈雅．关于洛伦兹力的三点讨论．物理教师，2010(2)